Problema 6 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2021

Tema: Derivadas y sus aplicaciones: tangentes, monotonía, extremos y curvatura · Del examen Extraordinaria (2021)

Enunciado

Sea la función f(x)=2x2+2x−23x2+3f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}.

a)

[1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f(x)f(x) y clasifícalos.

b)

[1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1.

Enunciado: Problema 6 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Abscisa del mínimo local de f(x):

Solución: 2−52 - \sqrt{5}

a) Abscisa del máximo local de f(x):

Solución: 2+52 + \sqrt{5}

b) Ecuación de la recta tangente en x = 1:

Solución: y−1/3=23(x−1)y - 1/3 = \frac{2}{3}(x - 1) / y=23x−13y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

b) Ecuación de la recta normal en x = 1:

Solución: y−1/3=−32(x−1)y - 1/3 = -\frac{3}{2}(x - 1) / y=−32x+116y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{6}

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