Ejercicio 5 · Matemáticas II PAU Cantabria Extraordinaria 2023

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2023)

Enunciado

Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

Considere la matriz

A=(122b)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{pmatrix}

en función del parámetro b∈Rb \in \mathbb{R}.

A)

[0,75 PUNTOS] Calcule el rango de AA para los distintos valores del parámetro b∈Rb \in \mathbb{R}.

B)

[0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de b∈Rb \in \mathbb{R} la matriz AA tiene inversa.

C)

[1 PUNTO] Sea BB el conjunto formado por los b∈Rb \in \mathbb{R} tales que AA tiene inversa. Calcule la inversa de AA para los diferentes valores del parámetro b∈Bb \in B.

Enunciado: Ejercicio 5 · Matemáticas II PAU Cantabria Extraordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

A) [0,75 PUNTOS] Calcule el rango de A para los distintos valores del parámetro b ∈ R.

Solución: Si b≠4b \neq 4, rg⁡(A)=2\operatorname{rg}(A) = 2. Si b=4b = 4, rg⁡(A)=1\operatorname{rg}(A) = 1.

B) [0,75 PUNTOS] Determine para que valores de b ∈ R la matriz A tiene inversa.

Solución: Tiene inversa para todo b∈R∖{4}b \in \mathbb{R} \setminus \{4\} (es decir, b≠4b \neq 4).

C) [1 PUNTO] Sea B el conjunto formado por los b ∈ R tales que A tiene inversa. Calcule la inversa de A para los diferentes valores del parámetro b ∈ B.

Solución: A−1=1b−4(b−2−21)=(bb−4−2b−4−2b−41b−4)A^{-1} = \frac{1}{b - 4} \begin{pmatrix} b & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{b}{b-4} & \frac{-2}{b-4} \\[6pt] \frac{-2}{b-4} & \frac{1}{b-4} \end{pmatrix}

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