Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Baleares Extraordinaria 2023

P2. — Sigui $A$ una matriu invertible $n \times n$ amb coeficients reals tal que compleix la igualtat $A^2 + A = I$. Aleshores,

(a)

[3 punts] Satisfà la matriu

$$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

les condicions de l'enunciat? És a dir, compleix $M$ la igualtat de l'enunciat i, a més, és invertible?

Tornant a considerar que $A$ és una matriu qualsevol que satisfà les condicions de l'enunciat,

(b)

[3 punts] Calcula la inversa de $A$.

(c)

[4 punts] Comprova que se satisfà la igualtat $A(B + A) - I = A(B - I)$, sent $B$ una matriu quadrada qualsevol $n \times n$ amb coeficients reals.