Problema 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Ordinaria 2021

Considerau les següents matrius:

$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3k \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ k & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

Raonau si és possible calcular els productes $M \cdot N$ i $M^2$. En el cas que ho sigui, calculau-los. [2 punts]

b)

Estudiau per a quins valors de $k$ és $M \cdot N$ invertible. [3 punts]

Determinau els dos valors de $k$ que fan $\det(M \cdot N) = 0$ (per als quals $M \cdot N$ NO és invertible):

c)

Calculau la inversa de $M \cdot N$ per a $k = 1$: $(M \cdot N)^{-1} = \begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{pmatrix}$. [2 punts]

d)

Per a $k = 1$, trobau la matriu $X$ que compleix $(M \cdot N) \cdot X = B$, on $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. [3 punts]

Introduïu els elements de la matriu $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$: