Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2026 · Ordinaria Suplente 1

Una empresa fabrica dos productos, $P_1$ y $P_2$, a partir de tres recursos productivos: mano de obra, energía y capital. La disponibilidad anual de energía y de capital son $3500$ unidades y $1300$ unidades respectivamente. Para poder optar a una ayuda del gobierno para el fomento del empleo, la empresa va a contratar, al menos, $4200$ horas anuales. Cada unidad de $P_1$ necesita para su fabricación $10$ horas de mano de obra, $10$ unidades de energía y $5$ unidades de capital; siendo el precio de cada unidad de $P_1$ $800$ euros. Cada unidad de $P_2$ necesita para su fabricación $20$ horas de mano de obra y $5$ unidades de energía; vendiéndose a $400$ euros la unidad de $P_2$. La empresa vende todo lo que produce y quiere maximizar sus ingresos anuales por la venta de los dos productos.

a)

¿Cuántas unidades de cada producto han de fabricarse anualmente para maximizar los ingresos? ¿Cuál es dicho ingreso óptimo?

b)

¿Es posible alcanzar el máximo elaborando un único producto?

Sea $f$ la función definida por

$$f(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + 9x & \text{si } x < 3 \\ \dfrac{bx + 18}{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

siendo $a$ y $b$ números reales.

a)

Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en su dominio y su gráfica pase por el punto $(2, 2)$.

Para $a = b = -6$:

b) i)

Determine las asíntotas de $f$, en el caso de que existan.

b) ii)

Estudie la monotonía de $f$ y calcule sus extremos relativos.

b) iii)

Esboce la gráfica de $f$.

Se considera la función $$f(x) = 1 - \dfrac{x-6}{2+x}$$

a)

Halle su dominio y determine sus asíntotas.

b)

Estudie la monotonía y la curvatura, calculando los extremos relativos y los puntos de inflexión.

c)

Represente gráficamente $f$.

d)

Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en todos aquellos puntos donde la pendiente de dicha recta vale $-8$.

EJERCICIO 3 - OPCIÓN A

Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una ley Normal de media desconocida y desviación típica $2$.

a)

[1 punto] Se selecciona una muestra de tamaño $81$ resultando una media de $20$. Calcule un intervalo de confianza al $98.5\%$ para estimar la media poblacional. ¿Qué error máximo se comete en la estimación?

(,)

b)

[0.75 puntos] Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debería tener una nueva muestra para que la amplitud del intervalo para la media fuese inferior a $2.16$?

c)

[0.25 puntos] Razone qué efecto produciría sobre la amplitud del intervalo una disminución del nivel de confianza.

EJERCICIO 3 - OPCIÓN B

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que:

$$P(A) = 0.4, \quad P(B^c) = 0.7, \quad P(A \cup B) = 0.58$$

a)

[0.5 puntos] ¿Son $A$ y $B$ independientes? ¿Son incompatibles?

Sí

No

Sí

No

b)

Calcule la probabilidad de que:

i)

ii)

iii)

EJERCICIO 4

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos quiere analizar el comportamiento de sus usuarios durante la hora punta de la mañana en una determinada ciudad. La duración del trayecto de cada usuario (en minutos) se distribuye según una ley Normal con media $18$ y desviación típica $4$.

a)

[0.75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde menos de $15$ minutos en hacer su trayecto?

b)

[1.25 puntos] Se sabe que cada usuario que desbloquea un patinete tiene una probabilidad de $0.9$ de completar su trayecto sin incidencias. Si $120$ usuarios desbloquean un patinete para moverse por la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos $110$ completen el trayecto sin incidencias?