Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2025 · Ordinaria Suplente 2

BLOQUE A

EJERCICIO 1

a)

[1.75 puntos] En un festival gastronómico gaditano se han vendido entradas para tres eventos culinarios. Concretamente, $120$ entradas para un taller de repostería, $50$ para una demostración de cocina gourmet y $150$ para una cata de vinos de la tierra de Cádiz. El total recaudado por la venta de entradas ha sido de $6460\text{ €}$. Se sabe que el precio de $10$ entradas para el taller de repostería coincide con el coste de la suma de $2$ entradas para la cata de vinos y $1$ entrada para la demostración de cocina gourmet. Además, el coste de $2$ entradas para el taller y $1$ entrada para la cata de vinos supera en $6\text{ €}$ al de $2$ entradas para la demostración de cocina gourmet. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?

€

€

€

b)

[0.75 puntos] Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix},$$ calcule el rango de $A$ y $A^2$.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Un servicio técnico recibe un encargo para revisar lavadoras y frigoríficos de una empresa de apartahoteles. La revisión de cada lavadora requiere 100 minutos de trabajo, mientras que cada frigorífico requiere 50 minutos. El servicio técnico dispone de 26 horas y 40 minutos para hacer las revisiones. Por política de empresa, no se aceptan encargos de más de 12 lavadoras ni de más de 16 frigoríficos. Sabiendo que las revisiones se pagan a $50\text{ €}$ la hora, en ambos tipos de electrodomésticos, ¿cuántos electrodomésticos de cada clase debe revisar el servicio técnico para maximizar el ingreso con el encargo? ¿A cuánto asciende este ingreso máximo?

€

BLOQUE B

EJERCICIO 3

a)

[1.5 puntos] El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo: $$f(t) = at^2 + bt + c, \quad t \in [0, 60]$$ donde $t$ es el tiempo medido en minutos y $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es $20$ puntos y que a los $40$ minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es $36$ puntos. Determine $a, b$ y $c$ y represente gráficamente la función obtenida.

b)

[1 punto] Calcule la derivada de las siguientes funciones: $$g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) \qquad h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}$$

BLOQUE B

EJERCICIO 4

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 10 + \frac{5x}{2} & x \le -2 \\ x^2 + 1 & -2 < x < 2 \\ 10 - \frac{5x}{2} & x \ge 2 \end{cases}$$

a)

[0.5 puntos] Estudie la continuidad y derivabilidad de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$.

Sí

No

Sí

No

b)

[0.75 puntos] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ con pendiente $-1$.

c)

[1.25 puntos] Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de $f$ e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.

EJERCICIO 5

Una encuesta realizada a personas que utilizan productos de cosmética arroja los siguientes datos: el 66% de las personas encuestadas son mujeres y, de estas, el 71% utilizan cosmética natural. Además, se sabe que el 17.86% son hombres que no utilizan cosmética natural. Se selecciona una de estas personas al azar.

a)

[0.75 puntos] Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.

b)

[0.5 puntos] Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.

c)

[0.75 puntos] Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.

d)

[0.5 puntos] ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?

Sí

No

Sí

No

EJERCICIO 6

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

a)

[0.75 puntos] Indique la distribución que sigue la variable "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento". ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?

y $p$:

b)

[0.75 puntos] Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.

c)

[0.5 puntos] ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?

pacientes

d)

[0.5 puntos] ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

pacientes (como mínimo)

BLOQUE D

EJERCICIO 7

En un invernadero de Palos de la Frontera (Huelva), se cultivan fresas y frambuesas. Se desea estimar la proporción de fresas y frambuesas que se recolectan. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de $300\text{ kg}$, obteniéndose que $180\text{ kg}$ de ellos son fresas y el resto frambuesas.

a)

[1,5 puntos] Obtenga, con un nivel de confianza del $97\%$, un intervalo para estimar la proporción de fresas recolectadas en el invernadero y otro intervalo para estimar la proporción de frambuesas recolectadas.

$(

,

)

$(

,

)

b)

[1 punto] Con las proporciones muestrales iniciales y con un nivel de confianza del $95\%$, ¿cuántos kilogramos de frutos deberían seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que las proporciones muestrales difieran de las proporciones poblacionales a lo sumo en un $2\%$?

Tabla de la distribución normal $N(0,1)$