Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2026 · Tribunal ordinari

Determineu el domini de la funció $f(x)=\sqrt{x^2 - 2x - 15}$.

2. Considereu les funcions $f(x) = \dfrac{3}{3x+2} - \dfrac{1}{x-1}$ i $F(x) = \ln\left(\dfrac{3x+2}{x-1}\right)$.

a)

Expresseu $f(x)$ com una única fracció o quocient de polinomis. [0,5 punts]

b)

Comproveu que $F(x)$ és una primitiva de $f(x)$. [1 punt]

3. Considereu el paral·lelogram de vèrtexs $P(0, 0)$, $Q(3, 3)$, $R(2, 1)$ i $T(1, 2)$, en què $P$ i $Q$ són vèrtexs oposats.

a)

Comproveu que els punts mitjans de les dues diagonals són el mateix punt. [1 punt]

b)

Justifiqueu que una diagonal és tres vegades més llarga que l'altra. [0,5 punts]

4. Considereu els plans $\pi_1: 2x - y - z + 3 = 0$ i $\pi_2: -4x + 2y + 2z - 7 = 0$.

a)

Justifiqueu que els plans són paral·lels. [0,5 punts]

b)

Determineu la recta perpendicular als plans que passa per $Q(0, 0, 0)$. [1 punt]

$($

,

,

$)$

5. Comproveu que la matriu inversa i la matriu transposada de la matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ són iguals.

a)

b)

c)

6. Resoleu l'equació $$\frac{1}{5-2x} = \sqrt{\frac{1}{x-1}}$$

$x =$

Considereu la paràbola $f(x) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{x^2}{4}$.

a)

Escriviu una equació de la recta $r$ tangent a $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = -4$. [1 punt]

b)

Determineu una equació de la recta $s$ que és simultàniament perpendicular a $r$ i tangent a $f(x)$ en algun punt. [3 punts]

Per tal d'evitar que els astronautes pateixin pèrdua òssia i altres dèficits durant les missions, les agències espacials recomanen ingerir uns nivells mínims de certs minerals i macronutrients en cada àpat. Considerem tres d'aquests nutrients —calci (mg), hidrats de carboni (g) i ferro (mg)— i tres aliments disponibles per a un àpat a l'espai —ametlles, llet sencera i arròs blanc cuit. La taula següent mostra el contingut de cada nutrient per cada 100 g d'aliment:

Ametlles

Llet sencera

Arròs blanc cuit

Calci (mg)

260

120

10

Hidrats de carboni (g)

20

5

28

Ferro (mg)

4

0

0

Cadascun dels tres àpats diaris d'un astronauta ha de contenir 389 mg de calci, 92,5 g d'hidrats de carboni i 3,2 mg de ferro.

a)

Escriviu un sistema d'equacions lineals que permeti determinar la quantitat de cada aliment que hi ha d'haver en un àpat d'un astronauta. [1,5 punts]

Preneu $x$, $y$ i $z$ com les quantitats (en porcions de 100 g o en grams) d'ametlles, llet sencera i arròs blanc cuit, respectivament.

b)

Resoleu el sistema anterior i interpreteu la solució obtinguda. [2,5 punts]