Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2026 · Tribunal especial

PART 1

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. [1,5 punts]

1. Escriviu una primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{3}{x} - 4\sqrt{x}$.

2. Considereu l'equació $x^2 + bx + 4 = 0$. Determineu el valor o valors de $b$ que fan que l'equació tingui una arrel doble.

NOTA: Una arrel doble d'una equació és una solució que és dues vegades solució. Per exemple, $x = 1$ és una arrel doble de l'equació $x^2 - 2x + 1 = 0$.

$b =$

3. Resoleu l'equació $\sqrt{x-3} + \sqrt{x+2} - 5 = 0$.

Trobeu per a quin valor de $m$ les rectes $r: \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x - 5y - z = -1 \end{cases}$ i $s: \begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + y + mz = 5 \end{cases}$ es tallen en un punt.

$m =$

5. Considereu la matriu $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$. Determineu els valors de $a$ i $b$ perquè es verifiqui la igualtat $A^2 = A$.

Primera parella de valors:

Segona parella de valors:

6. Justifiqueu que la funció $f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x - 3}{x - 2}$ és creixent en tot el seu domini.

a)

b)

Considereu el rectangle de vèrtexs $A(3, 5)$, $B(7, 1)$, $C(10, 12)$ i $D(14, 8)$, en què $A$ i $D$ són vèrtexs oposats.

a)

Escriviu una equació de cadascuna de les rectes que contenen les diagonals del rectangle. [1 punt]

b)

Determineu el punt $M$ d'intersecció de les dues diagonals. [2 punts]

$M = ($

$,$

$)$

c)

Comproveu que el punt $M$ és la mitjana aritmètica de les coordenades dels quatre vèrtexs del rectangle. [1 punt]

Una companyia d'assegurances atén 250 pacients a les seves clíniques A, B i C. Per diferents raons, la clínica B atén una quarta part dels pacients que atenen conjuntament les clíniques A i C. Els costos d'atenció per pacient a les clíniques A, B i C són 26 €, 28 € i 24 €, respectivament.

a)

Sabent que els costos totals d'atenció són de 6.360 €, determineu quants pacients s'atenen a cada clínica. [3 punts]

b)

Justifiqueu que no es podrien atendre els 250 pacients amb només 6.100 €. [1 punt]