Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2025 · Tribunal ordinari

Determineu el domini de la funció $f(x) = \sqrt{3x + 1} - \sqrt{2x - 1}$.

2. Justifiqueu que la funció $F(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{3}(4x + 3)$ és una primitiva de la funció $f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}$.

$F'(x) =$

3. Considereu l'equació $x^2 - kx + 24 = 0$.

a)

Calculeu el valor de $k$ que fa que $x = 6$ sigui una solució de l'equació.

[1 punt]

$k =$

b)

Escriviu una equació $x^2 - kx + 24 = 0$ les solucions de la qual siguin els valors $x = 8$ i $x = 3$.

[0,5 punts]

4. Indiqueu el valor de $a$ perquè els punts $A(1, 2, 0)$, $B(0, 3, -1)$, $C(1, 0, 1)$ i $D(-1, 2, a)$ estiguin en un mateix pla (siguin coplanaris).

$a =$

5. Considereu les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ i $C = \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$. Trobeu la matriu $X$ que satisfà la igualtat $A^2 \cdot X - B = C$.

(

)

6. Calculeu per a quin valor o valors de $k$ l'única solució del sistema següent és la solució trivial ($x=0$, $y=0$, $z=0$).

$$\begin{cases} x - 5y = 0 \\ 4x - 6y + 2z = 0 \\ 5x - 4y + kz = 0 \end{cases}$$

Condició sobre $k$:

En un triangle, una mitjana és la recta que uneix un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat al vèrtex. Considereu el triangle de vèrtexs $A(5, 4)$, $B(-3, 6)$ i $C(1, -2)$.

a)

Escriviu les equacions de les tres mitjanes. [1,5 punts]

b)

Determineu el punt d'intersecció de les tres mitjanes, és a dir, el baricentre del triangle. [2 punts]

c)

Comproveu que el baricentre és la mitjana aritmètica de les coordenades dels tres vèrtexs. [0,5 punts]

L'empresa AFSA produeix i ven diàriament $x$ tones d'acer de baixa resistència i $\frac{40-5x}{10-x}$ tones d'acer d'alta resistència. AFSA té capacitat per a produir, com a molt, $x = 8$ tones d'acer de baixa resistència. Cada tona d'acer de baixa resistència es ven a $100\ \text{€}$ i cada tona d'acer d'alta resistència es ven a $250\ \text{€}$.

a)

Justifiqueu que la producció d'acer d'alta resistència decreix a mesura que augmenta la producció d'acer de baixa resistència. [2 punts]

b)

Determineu les produccions diàries d'acer de baixa resistència i d'alta resistència que maximitzen els ingressos diaris totals. [2 punts]