Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2024 · Tribunal ordinari

PART 1

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. [6 punts: 1,5 punts per cada qüestió]

1. Determineu el domini de la funció $f(x) = \sqrt{\frac{1 - x}{x^2 + 4}}$.

2. Les arrels d'un polinomi $P(x)$ són les solucions de l'equació $P(x)=0$.

a)

Justifiqueu que $x=\dfrac{1}{2}$ és una arrel del polinomi $P(x)=2x^3+x^2-13x+6$.

[0,5 punts]

b)

Determineu les altres dues arrels del polinomi $P(x)=2x^3+x^2-13x+6$.

[1 punt]

3. Considereu el pla $\pi: 3x - y + Az = 13$ i les rectes $r_1: (x, y, z) = (2, -1, 0) + \alpha(1, 2, -1)$ i $r_2: (x, y, z) = (3, 1, 0) + \beta(1-a, -a, 1)$.

Encircleu la lletra de l'opció correcta per tal de completar cadascuna de les afirmacions següents.

[1,5 punts: cada resposta correcta val 0,5 punts; per cada resposta incorrecta es descomptaran 0,25 punts i per les qüestions no contestades no hi haurà cap descompte]

3.1. Una altra equació de la recta $r_1$ és

3.2. Les rectes $r_1$ i $r_2$ són paral·leles si

3.3. La recta $r_1$ i el pla $\pi$ són paral·lels si

4. Determineu els valors de $a$ que fan que el punt $S(2, a, 0)$ sigui un punt del pla determinat pels punts $P(2, 1, 0)$, $Q(2, -1, 0)$ i $R(-2, 1, 1)$.

5. Determineu els valors de $k$ que fan que la matriu

$$M = \begin{pmatrix} k & -4 & -1 & 0 \\ -2 & 4 & 2 & 1 \\ 3 & -6 & 1 & k+1 \end{pmatrix}$$

tingui rang 3.

6. Escriviu una primitiva de la funció $f(x) = e^{-3x} + 3x^{-2}$.

Considereu el triangle $T_1$, de vèrtexs $O(0, 0)$, $P_1(0, 4)$ i $P_2(3, 0)$.

a)

Determineu-ne el perímetre i l'àrea. [1 punt]

b)

Determineu dos punts $Q_1(0, A)$ i $Q_2(B, 0)$, amb $A, B > 0$, que facin que el triangle $T_2$, de vèrtexs $O(0, 0)$, $Q_1(0, A)$ i $Q_2(B, 0)$, tingui un perímetre que mesuri el doble que el perímetre del triangle $T_1$ i una àrea que sigui quatre vegades més gran que l'àrea de $T_1$.

NOTA: Podeu utilitzar les equacions del perímetre i de l'àrea del triangle $T_2$ per a justificar que $A + B = 14$.

[3 punts]

Primera solució:

$A_1 =$

,

$B_1 =$

Segona solució:

$A_2 =$

,

$B_2 =$

Considereu les matrius:

$$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

Justifiqueu que el producte de matrius $M \cdot E_1$ és equivalent a intercanviar la primera i la segona columna de la matriu $M$. [1 punt]

b)

Justifiqueu que el producte de matrius $E_2 \cdot M$ és equivalent a intercanviar la primera i la tercera fila de la matriu $M$. [1 punt]

c)

Utilitzeu els resultats anteriors per escriure una operació amb les matrius $M$, $E_1$ i $E_2$ el resultat de la qual sigui la matriu:

$$\begin{pmatrix} h & g & i \\ e & d & f \\ b & a & c \end{pmatrix}$$

[2 punts]