Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2025 · Tribunal especial

PART 1

Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. [6 punts: 1,5 punts per cada qüestió]

1. Trobeu les coordenades del punt d'intersecció de la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + \alpha(1, 0, -1)$ amb el pla $\pi: x = z$.

$P($ $,$ $,$ $)$

2. Considereu el sistema d'equacions $$\begin{cases} (a - 1)x + 4y = a^2 + 2 \\ (a^2 - 2a)x + 6y = 20 \end{cases}$$

a)

Justifiqueu que, si $a = 3$, el sistema és incompatible. [0,5 punts]

b)

Determineu el valor o valors de $a$ que fan que el sistema sigui compatible determinat. [1 punt]

$a_1 =$ $a_2 =$

3. La imatge adjunta representa la gràfica d'una funció $f(x)$.

Encircleu la lletra de l'opció correcta per tal de completar cadascuna de les afirmacions següents.

[1,5 punts: cada resposta correcta val 0,5 punts; per cada resposta incorrecta es descomptaran 0,25 punts i per les qüestions no contestades no hi haurà cap descompte]

3.1.

La derivada de $f(x)$ és positiva (és a dir, $f'(x) \ge 0$) en

3.2.

La derivada de $f(x)$ és negativa (és a dir, $f'(x) \le 0$) en

3.3.

La derivada de $f(x)$ s'anul·la (és a dir, $f'(x) = 0$) en

4. Resoleu l'equació $\ln\left(\dfrac{2+3x}{5x-1}\right) = 0$, en què $\ln$ és la funció logaritme neperià.

$x =$

5. Considereu el punt $P(-3, -2, -5)$ i la recta $r: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{1-z}{4}$.

a)

Justifiqueu que la recta $r$ no passa pel punt $P$. [0,5 punts]

b)

Escriviu una equació de la recta $s$ que passa pel punt $P$ i és paral·lela a la recta $r$. [1 punt]

6. Justifiqueu que $F(x) = x^2 e^{2x} - e^{2x}$ és una primitiva de $f(x) = 2(x^2 + x - 1) e^{2x}$.

Per justificar que $F(x)$ és una primitiva de $f(x)$, cal comprovar que la seva derivada $F'(x)$ coincideix amb $f(x)$.

a)

b)

c)

El campionat del món d’automobilisme consta de 23 curses. El primer classificat de cada cursa aconsegueix 25 punts, el segon classificat guanya 18 punts i el tercer classificat obté 15 punts. L’any passat, un pilot va finalitzar només 17 curses, i en totes 17 va quedar entre els tres primers classificats; amb aquests resultats va aconseguir 359 punts. Per a l’any vinent, el pilot es proposa finalitzar unes quantes curses més, obtenir els mateixos resultats en 17 de les curses i, a més, finalitzar en segon lloc en un 50 % més de curses que l’any passat. D’aquesta manera obtindria 431 punts.

Determineu les classificacions que va obtenir el pilot l’any passat, és a dir, en quantes curses va acabar primer, en quantes va quedar segon i en quantes va ser tercer.

a)

Determineu el valor de $A$ que fa que$$\frac{2x^2 - 16x + 32}{(x-3)^2} = 2 - \frac{4}{x-3} + \frac{A}{(x-3)^2}$$ [1 punt]

b)

Utilitzeu el resultat anterior per a calcular$$\int \left( \frac{2x^2 - 16x + 32}{(x-3)^2} \right) dx$$ [3 punts]