Examen de Matemáticas Majors de 25 anys (Catalunya) 2024 · Tribunal especial

1. Determineu el domini de la funció $f(x) = \sqrt{x + 1} - \ln(2 - x)$, en què $\ln$ és la funció logaritme neperià.

2. Considereu la recta $r: \dfrac{x-1}{-1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z+A}{1}$ i el pla $\pi: 2x - 4y - 2z + 30 = A$.

a)

Determineu el valor de $A$ que fa que la intersecció entre la recta $r$ i el pla $\pi$ sigui el punt $P(-3, 5, 0)$. [1 punt]

b)

Justifiqueu que la recta $r$ i el pla $\pi$ són perpendiculars. [0,5 punts]

3. Una cafeteria ven cada matí 200 cafès, dels quals $n$ són cafès normals (amb un preu d'1,35 € cadascun) i $d$ són descafeïnats (amb un preu d'1,45 € cadascun). Per cada 3 cafès normals venuts es venen 5 cafès descafeïnats.

Encircleu la lletra de l'opció correcta per tal de completar cadascuna de les afirmacions següents.

[1,5 punts: cada resposta correcta val 0,5 punts; per cada resposta incorrecta es descomptaran 0,25 punts i per les qüestions no contestades no hi haurà cap descompte]

3.1. L'equació que expressa la relació entre els dos tipus de cafès venuts és

3.2. Cada matí es venen

3.3. Els ingressos obtinguts cada matí per la venda dels cafès són

4. Resoleu l'equació

$$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{3}$$

Considereu el punt $P(-1, 5)$ i la recta $r: y = 2 - 3x$.

a)

Justifiqueu que la recta $r$ passa pel punt $P$.

[0,5 punts]

b)

Determineu un punt de la recta $r$ que estigui a una distància $\sqrt{10}$ del punt $P$.

[1 punt]

$x =$

$y =$

6. Raoneu que la funció $f(x) = \dfrac{x^2 + 9x + 19}{x + 5}$ és creixent en tot el seu domini.

a)

$f'(x) =$

b)

Una empresa d'autobusos lloga un autobús amb capacitat per a 50 persones a grups de 35 persones o més. Si un grup té exactament 35 persones, cada persona paga 55 €. En grups més grans, la tarifa de cada client es redueix 1 € per cada persona addicional a les 35.

Determineu quantes persones ha de tenir el grup perquè els ingressos de l'empresa provinents del lloguer siguin màxims.

Determineu els valors de $a$ i $b$ que fan que

$$x + a - \frac{2}{x - b} = \frac{x^2 - 2x - 5}{x - b}$$

$a =$

$b =$

$a =$

$b =$