Examen de Álgebra UDG 2023 · Final d'Àlgebra - Gener 2023

Qüestió 1 [0,75 punts]. Sistema d'equacions lineals amb paràmetre

Considereu el sistema lineal amb paràmetre real $m$ següent:

$$\begin{cases} 3x - y + z = 5 \\ x + my - z = 2 \\ mx - 6y + mz = 8 \end{cases}$$

Indiqueu quina de les afirmacions és correcta:

Qüestió 2 [0,75 punts]. Factorització LU amb pivotatge i escalat

A partir de la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -2 & 5 \\ 3 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$

si s'hi aplica la factorització $LU$ mitjançant pivotatge parcial i escalat, quina és la matriu triangular inferior $L$ resultant?

Qüestió 3 (0,75 punts). Potència de matriu a partir de valors i vectors propis

Sigui una matriu d'ordre $2 \times 2$ que té com a valors propis $\lambda_1 = 1$ i $\lambda_2 = 2$, associats respectivament als vectors propis $\vec{v}_1 = (1, -1)$ i $\vec{v}_2 = (1, 0)$. Calculeu la matriu $A^4$:

Qüestió 4 (0,75 punts). Àrea d'un polígon a escala

Un terreny està delimitat pels seus vèrtexs consecutius de coordenades $A = (0, 0)$, $B = (3, 0)$, $C = (2, 4)$, $D = (6, 5)$ i $E = (0, 7)$ sobre un plànol. Sabent que l'escala del plànol és $1: 5$, quina és l'àrea real del terreny?

Qüestió 5 [0,75 punts]. Base i sistema de referència a l'espai

A $\mathbb{R}^3$, es defineix el conjunt $\mathcal{B} = \{P; \vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$, essent $P$ un punt qualsevol i els vectors:

$\vec{u}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{u}_2 = (2, -1, 3), \quad \vec{u}_3 = (0, 3, -1)$

Si considerem el vector $\vec{v} = \vec{u}_1 + 2\vec{u}_2 + 3\vec{u}_3$, indiqueu quina afirmació és CERTA:

Qüestió 6 [0,75 punts]. Canvi de coordenades d'un vector entre sistemes de referència

Considerem el sistema de referència afí $\mathcal{B}' = \{(0, 1, 0); (-1, 0, -1), (-3, 2, 0), (0, 0, 1)\}$. Si el vector lliure $\vec{v}$ té com a coordenades $(-5, 8, -5)$ en $\mathcal{B}'$, quines són les coordenades d'aquest vector en el sistema de referència estàndard?

.

Qüestió 7 [0,75 punts]. Simetria d'un vector respecte d'una recta

Si s'aplica una simetria respecte de la recta $3x + 4y = 7$ al vector $\vec{v} = (2, 1)$, quin és el vector resultant?

.

Qüestió 8 (0,75 punts). Matriu homogènia de rotació al voltant d'un eix

Quina de les següents matrius en coordenades homogènies produeix com a resultat el moviment corresponent a realitzar una rotació d'angle $-\frac{\pi}{2}$ respecte de la recta orientada pel vector $(1, 0, -1)$ i que conté el punt $(3, 0, 1)$?

Problema 1 (2 punts). Model matricial i cadenes de Màrkov d'un robot de rescat

Durant la fase d'entrenament d'un robot de rescat, aquest pot desplaçar-se per tres zones diferenciades: I, II i III. L'algorisme de navegació fa que el robot canviï de zona exactament un cop cada hora, sense romandre mai a la mateixa zona dues hores consecutives. Addicionalment es coneixen les transicions següents:

Si es troba a la zona I, hi ha un 60% de probabilitat que es mogui a la zona II.

Si es troba a la zona II, la probabilitat de passar a la zona III és del 50%.

Si es troba a la zona III, hi ha un 70% de probabilitat que es desplaci a la zona I.

a)

[0.5p] Establiu el model matricial que descriu el procés. Introduïu els elements de la matriu de transició de probabilitats $A$:

b)

[0.5p] Determineu el valor propi dominant de la matriu obtinguda i el seu vector propi associat normalitzat (com a vector de probabilitat).

$x =$ $y =$ $z =$

c)

[0.5p] Suposant que inicialment el robot comença a la zona I, quina és la probabilitat que es trobi a la zona II al cap de 5 hores? (en tant per u o percentatge):

d)

[0.5p] A llarg termini, quina és la probabilitat de trobar el robot a cadascuna de les zones? Expresseu els resultats en percentatge:

Zona I:

Zona II:

Zona III:

Problema 2 (2 punts). Moviments i transformacions al pla en coordenades homogènies

Al pla afí euclidià:

a)

[0.5p] Determineu la matriu en coordenades homogènies corresponent a la simetria ortogonal respecte de la recta $3x - 4y + 1 = 0$.

b)

[0.5p] Determineu la matriu en coordenades homogènies corresponent a l'homotècia generalitzada amb centre al punt $(1, -3)$ i raons $\frac{1}{2}$ i $4$ respecte de les direccions $(1, 2)$ i $(2, -1)$, respectivament.

c)

[0.25p] Calculeu la matriu de la transformació resultant d'aplicar en primer lloc la simetria de l'apartat (a) i, posteriorment, l'homotècia generalitzada de l'apartat (b):

d)

[0.75p] Apliqueu el moviment compost de l'apartat (c) al polígon definit pels vèrtexs $A_1 = (0, 0)$, $A_2 = (1, 1)$, $A_3 = (3, 0)$ i $A_4 = (1, 2)$. Indiqueu les coordenades dels nous vèrtexs, calculeu les àrees dels polígons original i final, i establiu en quina proporció es troben:

$A_1' = ($, $)$

$A_2' = ($, $)$

$A_3' = ($, $)$

$A_4' = ($, $)$

Àrea inicial:

Àrea final:

Proporció (Àrea final / Àrea inicial):