Problema 2 · Álgebra UDG 2022

Tema: Transformacions geomètriques en coordenades homogènies · Del examen Examen Final d'Àlgebra - Gener 2022 (2022)

Enunciado

Donat el tetraedre $ABCD$ de vèrtexs $A(1, 0, 0)$ , $B(1, 1, 0)$ , $C(0, 1, 1)$ i $D(0, 0, 2)$ :

[0,5 punts] Calculeu la matriu de rotació $R$ d'angle $\pi/2$ al voltant de l'eix que conté la recta amb vector director $\vec{AB}$ i que passa pel punt $A$ (en coordenades homogènies $4\times 4$ ):

[0,35 punts] Calculeu la matriu d'homotècia $H$ de centre $B$ i raó $2$ :

[0,35 punts] Calculeu la matriu de projecció $P$ respecte del pla format pels punts $ABC$ :

[0,30 punts] Calculeu la matriu de transformació $T$ consistent en aplicar l'homotècia seguida de la rotació i de la projecció ( $T = P R H$ ). Calculeu l'àrea del triangle resultant d'aplicar la transformació $T$ al triangle $ABD$ .

[0,25 punts] Apliqueu l'homotècia $H$ al triangle $ABD$ i calculeu l'àrea del triangle resultant:

[0,25 punts] Calculeu l'àrea del triangle $ABD$ original i compareu-la amb les àrees obtingudes als apartats anteriors.

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDG 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matriu R [fila 1, col 1]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 1, col 2]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 1, col 3]

Solución: 1

a) Matriu R [fila 1, col 4]

Solución: 1

a) Matriu R [fila 2, col 1]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 2, col 2]

Solución: 1

a) Matriu R [fila 2, col 3]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 2, col 4]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 3, col 1]

Solución: -1

a) Matriu R [fila 3, col 2]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 3, col 3]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 3, col 4]

Solución: 1

a) Matriu R [fila 4, col 1]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 4, col 2]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 4, col 3]

Solución: 0

a) Matriu R [fila 4, col 4]

Solución: 1

b) Matriu H [fila 1, col 1]

Solución: 2

b) Matriu H [fila 1, col 2]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 1, col 3]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 1, col 4]

Solución: -1

b) Matriu H [fila 2, col 1]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 2, col 2]

Solución: 2

b) Matriu H [fila 2, col 3]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 2, col 4]

Solución: -1

b) Matriu H [fila 3, col 1]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 3, col 2]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 3, col 3]

Solución: 2

b) Matriu H [fila 3, col 4]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 4, col 1]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 4, col 2]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 4, col 3]

Solución: 0

b) Matriu H [fila 4, col 4]

Solución: 1

c) Matriu P [fila 1, col 1]

Solución: 1/2

c) Matriu P [fila 1, col 2]

Solución: 0

c) Matriu P [fila 1, col 3]

Solución: -1/2

c) Matriu P [fila 1, col 4]

Solución: 1/2

c) Matriu P [fila 2, col 1]

Solución: 0

c) Matriu P [fila 2, col 2]

Solución: 1

c) Matriu P [fila 2, col 3]

Solución: 0

c) Matriu P [fila 2, col 4]

Solución: 0

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