Exercici 5 · Matrices y Vectores UB 2023

Definiu quan es diu que els subespais $F$ i $G$ estan en suma directa.

Solución: Es diu que la suma de dos subespais vectorials $F, G \subset E$ és directa (i s'escriu $F \oplus G$) si la seva intersecció conté exclusivament el vector nul: $$F \cap G = \{0_E\}.$$

Enuncieu tres condicions equivalents perquè $F$ i $G$ estiguin en suma directa.

Solución: 1. $F \cap G = \{0_E\}$. 2. Tot vector $v \in F + G$ s'expressa de manera única com a suma $v = u + w$, amb $u \in F$ i $w \in G$. 3. Si $u + w = 0_E$ amb $u \in F$ i $w \in G$, aleshores necessàriament $u = 0_E$ i $w = 0_E$.

Demostreu l'equivalència entre elles.

Solución: Demostrem la cadena d'implicacions $(1) \implies (2) \implies (3) \implies (1)$: • $(1) \implies (2)$: Suposem que $F \cap G = \{0\}$ i que un vector $v \in F + G$ admet dues descomposicions: $$v = u_1 + w_1 = u_2 + w_2, \quad \text{amb } u_1, u_2 \in F \text{ i } w_1, w_2 \in G.$$ Reordenant termes: $u_1 - u_2 = w_2 - w_1$. Com que $u_1 - u_2 \in F$ i $w_2 - w_1 \in G$, ambdós pertanyen a $F \cap G$. Atès que $F \cap G = \{0\}$, tenim $u_1 - u_2 = 0 \implies u_1 = u_2$ i $w_2 - w_1 = 0 \implies w_1 = w_2$. L'escriptura és única. • $(2) \implies (3)$: El vector nul $0_E \in F + G$ sempre s'expressa com $0_E = 0_E + 0_E$ amb $0_E \in F$ i $0_E \in G$. Per la unicitat establerta a (2), qualsevol expressió $0_E = u + w$ amb $u \in F, w \in G$ ha de complir obligatòriament $u = 0_E$ i $w = 0_E$. • $(3) \implies (1)$: Sigui $x \in F \cap G$. Aleshores podem escriure $x + (-x) = 0_E$. Com que $x \in F$ i $-x \in G$, tenim una descomposició del vector nul de la forma $u + w = 0_E$ amb $u = x \in F$ i $w = -x \in G$. Per la hipòtesi (3), concloem que $u = x = 0_E$. Per tant, $F \cap G \subset \{0_E\}$, i com que $0_E$ sempre hi pertany, $F \cap G = \{0_E\}$.