Exercici 4 · Matrices y Vectores UB 2023

a. Demostreu que $f$ és una aplicació lineal.

Solución: Hem de provar que per a qualssevol $A, B \in E$ i $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ es compleix $f(\alpha A + \beta B) = \alpha f(A) + \beta f(B)$: $$f(\alpha A + \beta B) = (\alpha A + \beta B) + (\alpha A + \beta B)^T = \alpha A + \beta B + \alpha A^T + \beta B^T$$ $$= \alpha(A + A^T) + \beta(B + B^T) = \alpha f(A) + \beta f(B).$$

b. Trobeu la matriu associada a l'aplicació $f$ respecte de la base canònica de $E$.

Solución: $$M_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

c. Dimensió del nucli ($\ker f$)

Solución: 1

c. Dimensió de la imatge ($\operatorname{Im} f$)

Solución: 3

c. Base del nucli i base de la imatge

Solución: $$\mathcal{B}_{\ker f} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$ $$\mathcal{B}_{\operatorname{Im} f} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

d. Justificació de la suma directa $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$

Solución: Sí, es compleix que $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$. Si $A \in \ker f \cap \operatorname{Im} f$, aleshores $A^T = -A$ i $A^T = A$, d'on $A = -A \implies 2A = 0 \implies A = 0$. Per tant, $\ker f \cap \operatorname{Im} f = \{0\}$. Com que la intersecció és nul·la i $\dim(\ker f) + \dim(\operatorname{Im} f) = 1 + 3 = 4 = \dim(E)$, la suma és directa i cobreix tot l'espai.

d. Esbrineu si es compleix que $E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f$.

Solución: Sí