Exercici 2 · Matrices y Vectores UB 2023

Exercici 2. Dependència lineal i canvi de base

Sigui $E$ un espai vectorial i $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ una base de $E$. Definim la següent família de vectors de $E$ en funció d'un paràmetre real $a$:

$$\begin{aligned} u_1 &= e_1 + e_3, \\ u_2 &= e_1 - e_2 + a e_3, \\ u_3 &= e_1 - e_3 + a e_4, \\ u_4 &= e_2 - e_4. \end{aligned}$$

a.

Trobeu per a quins valors del paràmetre $a$ el conjunt de vectors $\{u_1, u_2, u_3, u_4\}$ constitueix una base de l'espai $E$.

Indica els valors separats per comes (per exemple: -1, 2) o la condició $a \neq \dots$

b.

Prenent el valor $a = 0$, determineu la matriu de canvi de base de la base $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ a la base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$, i calculeu les coordenades del vector $v = e_1 + e_2 + e_3 + e_4$ respecte de la base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$.