Exercici 3 · Matrices y Vectores UB 2023

Tema: Sistemes lineals, matrius, rang i matriu inversa · Del examen Examen final (11 de gener de 2023) (2023)

Enunciado

Exercici 3. Matrius nilpotents i expressió de la inversa

a)

Sigui BB una matriu quadrada d'ordre n×nn \times n tal que Bk=0B^k = 0 per a cert nombre natural k≥2k \ge 2, i sigui II la matriu identitat d'ordre n×nn \times n. Demostreu que es verifica la igualtat:

(I−B)(I+B+B2+⋯+Bk−1)=I.(I - B)(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) = I.

b)

Considerem la matriu B=(bji)1≤i,j≤nB = (b_j^i)_{1 \le i, j \le n} donada per:

bji={1si j=i+10si j≠i+1b_j^i = \begin{cases} 1 & \text{si } j = i + 1 \\ 0 & \text{si } j \ne i + 1 \end{cases}

Determineu la inversa de la matriu A=I−BA = I - B.

Enunciado: Exercici 3 · Matrices y Vectores UB 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu que es verifica la igualtat (I−B)(I+B+B2+⋯+Bk−1)=I(I - B)(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) = I.

Solución: Efectuem directament el producte de matrius aplicant la propietat distributiva: (I−B)(I+B+B2+⋯+Bk−1)=I(I+B+B2+⋯+Bk−1)−B(I+B+B2+⋯+Bk−1)(I - B)(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) = I(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) - B(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) =(I+B+B2+⋯+Bk−1)−(B+B2+B3+⋯+Bk)=I−Bk.= (I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) - (B + B^2 + B^3 + \cdots + B^k) = I - B^k. Com que per hipòtesi Bk=0B^k = 0, obtenim immediatament: (I−B)(I+B+B2+⋯+Bk−1)=I−0=I.(I - B)(I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}) = I - 0 = I. Això prova que I−BI - B és invertible i que la seva inversa és (I−B)−1=I+B+B2+⋯+Bk−1(I - B)^{-1} = I + B + B^2 + \cdots + B^{k-1}.

b. Determineu la inversa de la matriu A=I−BA = I - B.

Solución: A−1=(111⋯1011⋯1001⋯1⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} És a dir, (A−1)ij=1(A^{-1})_{ij} = 1 si j≥ij \ge i, i (A−1)ij=0(A^{-1})_{ij} = 0 si j<ij < i (matriu triangular superior de tot uns).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3.b - Matriu d'una permutació i matriu i… · 2023 · Problema 3.b · 2020 ›

Más ejercicios de Sistemes lineals, matrius, rang i matriu inversa