Examen de Calculo de una Variable UB 2012 · Juny

Qüestió 1 (1 punt). Demostració per inducció

Feu servir el mètode d'inducció matemàtica per a demostrar que, per a qualsevol nombre natural $n \in \mathbb{N}$, l'expressió $n(n^2 + 5)$ resulta ser múltiple de $6$.

Qüestió 2 (1 punt). Relacions entre continuïtat, derivabilitat i integrabilitat

Indiqueu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa. Si és falsa, aporteu un contraexemple clar:

a.

Tota funció contínua és derivable.

b.

Tota funció contínua és integrable.

c.

Tota funció integrable és contínua.

d.

Tota funció derivable és contínua.

Qüestió 3 (1 punt). Optimització de la superfície d'un cilindre

Es considera un cilindre circular recte d'alçada $h$ i radi de la base $r$. D'entre tots els cilindres amb un volum fixat $V$, trobeu les dimensions $h$ i $r$ d'aquell que té àrea total mínima (tingueu en compte que l'àrea inclou les dues bases).

a)

b)

Qüestió 4 (1 punt). Càlcul d'una primitiva i d'un límit

Resoleu els següents càlculs:

a.

La primitiva indefinida:$$\int x^2 e^{-2x}\, dx$$

Qüestió 4 (1 punt). Càlcul d'una primitiva i d'un límit

Resoleu els següents càlculs:

b. El límit quan $x \to \infty$:$$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\right)$$

Problema 1 (2 punts). Resolució d'una equació en el pla complex

Trobeu totes les solucions de la següent equació en el cos dels nombres complexos i representeu-les gràficament en el pla complex:$$z^4 + |1-i|z^2 - ie^{i\pi/2} = 0$$

Problema 2 (2 punts). Desenvolupaments de Taylor i límit

Resoleu els apartats següents relacionats amb els desenvolupaments en sèrie de Taylor:

a.

Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor de grau $n$ d'una funció $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0$, incloent-hi el terme del residu.

b.

Determineu els tres primers termes no nuls dels polinomis de Taylor al voltant de zero per a les funcions:

c.

Utilitzant els desenvolupaments obtinguts a l'apartat anterior, calculeu el límit:$$\lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{\sqrt{x}}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1+\frac{x}{2}\right)}{\sin x - x}$$

$(9/8)$

Problema 3 (2 punts). Volum i àrea de superfície d'un sòlid de revolució

Sigui $f(x)$ una funció definida en un interval tancat $[a, b]$ amb $f(x) \ge 0$. Es considera el sòlid de revolució generat en fer girar la corba $y = f(x)$ al voltant de l'eix horitzontal.

a.

Escriviu les fórmules generals per al càlcul del volum i de l'àrea superficial exterior d'aquest sòlid:

b.

Considereu la funció concreta $f(x) = 1/x$ en l'interval $[1, b]$ amb $b > 1$. Calculeu el volum i l'àrea del sòlid obtingut en funció de $b$:

c.

Estudieu el comportament asimptòtic del volum i de l'àrea quan $b \to \infty$ i comenteu el resultat físic/geomètric que se'n deriva: