Problema 2 · Calculo de una Variable UB Juny 2012

a. Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor de grau $n$ d'una funció $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0$, incloent-hi el terme del residu.

Solución: $f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$, amb $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ per a $\xi$ estrictament entre $x_0$ i $x$.

b. Tres primers termes no nuls al voltant de zero per a $e^x$

Solución: $1 + x + \frac{1}{2}x^2$

b. Tres primers termes no nuls al voltant de zero per a $\sin x$

Solución: $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

b. Tres primers termes no nuls al voltant de zero per a $\frac{1}{1-x}$

Solución: $1 + x + x^2$

b. Tres primers termes no nuls al voltant de zero per a $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

Solución: $1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$

c. Utilitzant els desenvolupaments obtinguts a l'apartat anterior, calculeu el límit: $\lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{\sqrt{x}}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1+\frac{x}{2}\right)}{\sin x - x}$

Solución: 9/8