Examen de Calculo de una Variable UB 2012 · Càlcul d'una Variable - Gener de 2012

Qüestió 1 (1 punt). Principi d'inducció matemàtica

Enuncieu amb precisió el principi d'inducció matemàtica i utilitzeu-lo per demostrar que la identitat següent és certa per a tot nombre natural $n \in \mathbb{N}$:$$\sum_{k=1}^n k(k+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)$$

1.

2.

Qüestió 2 (1 punt). Derivabilitat, continuïtat i anàlisi en el punt $x = 0$

a.

Definiu el concepte de derivada d'una funció $f(x)$ en un punt $x = a$. Demostreu que si una funció és derivable en aquest punt, aleshores és necessàriament contínua en $x = a$. És cert el resultat recíproc? Justifiqueu la resposta aportant un exemple.

b.

Considereu la funció $f(x) = \sqrt{\sin(x^2)}$:

Calculeu les derivades laterals a l'origen: $f'_+(0)$ i $f'_-(0)$. Quant val la derivada $f'(0)$?

Qüestió 3 (1 punt). Arrels en el pla complex i potències complexes de funcions hiperbòliques

a.

Trobeu totes les solucions en el cos dels nombres complexos ($z \in \mathbb{C}$) de l'equació $z^4 = 2^4$ i representeu-les en el pla complex.

b.

Calculeu el valor de la següent expressió en la determinació principal i escriviu el resultat final en forma binòmica:

$$[\tanh(i\pi/3)]^i$$

Dada d'ajuda: $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$, $\cos(\pi/3) = 1/2$.

Qüestió 4 (1 punt). Càlcul d'integrals

Calculeu les integrals següents:

a.

$$\int \cos^3(5x)\,dx$$

b.

$$\int_{-3}^{1} \frac{2x + 10}{x^2 + 6x + 25}\,dx$$

Problema 1 (2 punts). Longitud d'arc, àrea plana i volum de revolució

Considereu la funció definida per a $x \in \mathbb{R}$ (amb $x \ge 0$): $$y = x^{3/2}$$

a.

Calculeu la longitud d'arc de la corba compresa entre $x = 0$ i $x = 4/3$.

b.

Trobeu l'àrea de la regió tancada entre la corba $y = x^{3/2}$ i la recta $y = x$ (és a dir, l'àrea delimitada entre els seus punts d'intersecció).

c.

Considereu el sòlid de revolució generat en fer girar la corba $y = x^{3/2}$ al voltant de l'eix d'abscisses ($x$). Calculeu el volum del cos de revolució comprès entre les abscisses $x = 0$ i $x = 4/3$.

Problema 2 (2 punts). Desenvolupament de Taylor, fita de l'error i càlcul de límits

a.

Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor de grau $n$ d'una funció $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0$, incloent-hi l'expressió del residu de Lagrange corresponent.

b.

Estimeu el valor de $e^{0.1}$ fent servir el desenvolupament de Taylor de la funció $f(x) = e^x$ a l'origen fins a ordre $n = 3$. Doneu una fita superior rigorosa de l'error comès. Simplifiqueu al màxim els resultats numèrics.

c.

Calculeu el límit següent utilitzant desenvolupaments de Taylor o infinitèsims equivalents: $$\lim_{x\to 0} \frac{\left[\frac{1}{1+x} - 1 + x\right]\left[\frac{1}{\sqrt{1+x}} - 1 + \frac{x}{2}\right]}{[e^x - 1 - x][x - \ln(1+x)]}$$

Problema 3 (2 punts). Optimització del cost de producció d'un envàs cilíndric

Una consultoria rep l'encàrrec de dur a terme un estudi per optimitzar el procés productiu d'una beguda. La beguda s'ha d'envasar en un recipient cilíndric de volum fix $V$, i s'han de determinar l'alçada ($H$) i el radi de la base ($R$) que minimitzen el cost total de fabricació.

Per a la manufactura de l'envàs s'utilitzen dos tipus de materials:

El material de les bases circulars (base inferior i tapa superior) té un cost de $A$ euros per unitat de superfície.

El material emprat per a la superfície lateral té un cost de $B$ euros per unitat de superfície.

Trobeu, en funció de $V$, $A$ i $B$, quins són el radi $R$ i l'alçada $H$ que fan que el cost de l'envàs sigui mínim. Comproveu explícitament que la solució trobada correspon a un mínim de la funció de cost.

a)

b)

c)