Problema 3 · Calculo de una Variable UB Juny 2012

Tema: Aplicacions de la integral, còniques i integrals impròpies · Del examen Juny (2012)

Enunciado

Problema 3 (2 punts). Volum i àrea de superfície d'un sòlid de revolució

Sigui f(x)f(x) una funció definida en un interval tancat [a,b][a, b] amb f(x)≥0f(x) \ge 0. Es considera el sòlid de revolució generat en fer girar la corba y=f(x)y = f(x) al voltant de l'eix horitzontal.

a.

Escriviu les fórmules generals per al càlcul del volum i de l'àrea superficial exterior d'aquest sòlid:

b.

Considereu la funció concreta f(x)=1/xf(x) = 1/x en l'interval [1,b][1, b] amb b>1b > 1. Calculeu el volum i l'àrea del sòlid obtingut en funció de bb:

c.

Estudieu el comportament asimptòtic del volum i de l'àrea quan b→∞b \to \infty i comenteu el resultat físic/geomètric que se'n deriva:

Enunciado: Problema 3 · Calculo de una Variable UB Juny 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Fórmula general del volum V

Solución: V=π∫ab(f(x))2dxV = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx

a. Fórmula general de l'àrea superficial A

Solución: A=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dxA = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + (f'(x))^2} dx

b. Càlcul del volum V(b) en funció de b

Solución: π(1−1/b)\pi (1 - 1/b)

b. Càlcul de l'àrea superficial A(b) en funció de b

Solución: π(arcsinh(b2)−1+b4b2−arcsinh(1)+2)\pi \left( \text{arcsinh}(b^2) - \frac{\sqrt{1+b^4}}{b^2} - \text{arcsinh}(1) + \sqrt{2} \right)

c. Límit del volum quan b -> infinit

Solución: π\pi

c. Límit de l'àrea quan b -> infinit

Solución: ∞\infty

c. Comentari del resultat físic/geomètric

Solución: Aquest cos de revolució es coneix com la Trompeta de Gabriel o Banya de Gabriel, i presenta la paradoxa de tenir un volum finit (π) tancat per una superfície d'àrea infinita.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 1 · 2012 · Problema 2 · 2011 ›

Más ejercicios de Aplicacions de la integral, còniques i integrals impròpies