Ejercicio Qüestió 2 · Calculo de una Variable UB Juny 2012

Indiqueu si cadascuna de les afirmacions és certa o falsa:

Solución: a: Falsa; b: Certa; c: Falsa; d: Certa

a. Tota funció contínua és derivable. Raonament o contraexemple:

Solución: FALSA. La continuïtat no implica derivabilitat. Per exemple, la funció valor absolut f(x) = |x| és contínua a tot ℝ, però no és derivable en el punt x = 0 perquè les derivades laterals no coincideixen (f'_-(0) = -1 ≠ 1 = f'_+(0)).

b. Tota funció contínua és integrable. Raonament:

Solución: CERTA. Tota funció contínua definida en un interval tancat i fitat [a, b] és integrable en el sentit de Riemann (conseqüència de la continuïtat uniforme i del teorema fonamental del càlcul).

c. Tota funció integrable és contínua. Raonament o contraexemple:

Solución: FALSA. Una funció pot presentar discontinuïtats aïllades de salt i seguir sent integrable segons Riemann. Com a contraexemple, la funció signe f(x) = sign(x) (o qualsevol funció esglaonada) en l'interval [-1, 1] és integrable, però té una discontinuïtat de salt no evitable a x = 0.

d. Tota funció derivable és contínua. Raonament:

Solución: CERTA. Si una funció és derivable en un punt x_0, aleshores: lim_{x->x_0} (f(x) - f(x_0)) = lim_{x->x_0} ((f(x) - f(x_0))/(x - x_0)) * (x - x_0) = f'(x_0) * 0 = 0, la qual cosa implica que lim_{x->x_0} f(x) = f(x_0), i per tant és contínua en x_0.