Examen de Matemàtiques Ii UB 2022 · Juny

Pregunta 1 (0,5 punts). Punts crítics en optimització amb restricció d'igualtat

Considereu el problema d'optimització condicionada següent:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} \quad & f(x,y) = xy + x + 2y \\

\text{s.a} \quad & x - 2y = 52

\end{aligned}$

Aquest problema verifica que:

Pregunta 2 (0,5 punts). Classificació de l'extrem i valor òptim

A partir del problema d'optimització plantejat a la pregunta anterior:

$$\begin{array}{rl} \text{Opt.} & f(x,y) = xy + x + 2y \\ \text{s.a} & x - 2y = 52 \end{array}$$

Podem afirmar que:

Pregunta 3 (0,5 punts). Multiplicador de Lagrange i punts crítics

Considereu el problema d'optimització condicionada:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} & \quad f(x,y) = 2x - y \\ \text{s.a} & \quad 2x^2 + y = 0 \end{aligned}$$

i la funció de Lagrange associada definida com:

$$L(x,y,\lambda) = 2x - y - \lambda(2x^2 + y)$$

Aquest problema verifica que:

Pregunta 4 (0,5 punts). Matriu hessiana de la funció de Lagrange

Per al problema de la pregunta anterior amb lagrangià $L(x,y,\lambda) = 2x - y - \lambda(2x^2 + y)$, podem afirmar que la matriu hessiana de la funció de Lagrange respecte a les variables $x, y$ és:

Pregunta 5 (0,5 punts). Anàlisi de sensibilitat del terme independent

En resoldre pel mètode de Lagrange el següent problema d'òptims condicionats:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} & \quad f(x, y, z) \\

\text{s.a} & \quad 11x + 35y - 34z = 3530

\end{aligned}$

considerant com a funció de Lagrange associada:

$$L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) - \lambda(11x + 35y - 34z - 3530),$$

s'ha obtingut que a l'òptim el valor del multiplicador de Lagrange és $\lambda = -4$. Si considerem la restricció $11x + 35y - 34z = 3526$ en lloc de la restricció inicial, aleshores podem afirmar que el valor de la funció objectiu en el nou òptim:

Pregunta 6 (0,5 punts). Regió factible de programació lineal

Donat el següent problema de programació lineal:

$\begin{array}{ll}

\text{Opt.} & f(x, y) = 6x + 3y \\

\text{s.a} & \begin{cases}

x + y \ge 70 \\

2x + y \ge 100 \\

x, y \ge 0

\end{cases}

\end{array}$

Aleshores podem afirmar:

Pregunta 7 (0,5 punts). Existència d'extrems en programació lineal

D'acord amb el problema de programació lineal de la pregunta anterior:

$\begin{array}{ll}

\text{Opt.} & f(x, y) = 6x + 3y \\

\text{s.a} & \begin{cases}

x + y \ge 70 \\

2x + y \ge 100 \\

x, y \ge 0

\end{cases}

\end{array}$

podem afirmar que:

Pregunta 8 (0,5 punts). Existència de solució en regió no negativa

Donat el següent problema:

$\begin{array}{rl}

\text{Màx.} & f(x, y) \\

\text{s.a} & \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}

\end{array}$

podem afirmar que el problema té solució quan:

.

Pregunta 9 (0,5 punts). Mínim d'una funció quadràtica en un rectangle

Donat el següent problema de programació no lineal:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} \quad & f(x, y) = (x - 3)^2 + y^2 \\

\text{s.a} \quad & \begin{cases}

2 \le x \le 4 \\

2 \le y \le 4

\end{cases}

\end{aligned}$

podem afirmar que el problema assoleix el valor mínim en el punt:

.

Un fuster fabrica taules i cadires, per a les quals necessita taulons de fusta, a banda de dedicar-hi hores de feina. Per saber la combinació de taules i cadires a fabricar que assegurin que el benefici sigui màxim (en euros), el seu cunyat economista li ha programat en Excel un programa lineal, amb les dades de benefici unitari i necessitats de taulons de fusta i hores de feina de cada tipus de moble. El resultat és el següent:

Cel·les canviants

Nom · Valor igual · Gradient Reduït · Coeficient objectiu · Augment Permissible · Decrement Permissible

Unitats a fabricar de taules · 500 · 0 · 55 · 5 · 25

Unitats a fabricar de cadires · 1000 · 0 · 30 · 25 · 2.5

Restriccions

Nom · Valor Final · Preu Ombra · Restricció costat dret · Augment Permissible · Decrement Permissible

Taulons, quantitat necessària · 4000 · 12.5 · 4000 · 2000 · 1000

Hores, quantitat necessària · 4500 · 1.666667 · 4500 · 1500 · 1500

Aleshores, amb aquestes dades, podem afirmar que el benefici òptim, si el fuster disposés de 5000 taulons en lloc dels 4000 de què disposa, seria:

.

Pregunta 11 (0,5 punts). Càlcul d'una integral indefinida immediata

La integral indefinida $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx$$ és igual a:

Pregunta 12 (0,5 punts). Càlcul del límit inferior d'una integral definida

El valor real del paràmetre $a > 0$ que satisfà la igualtat $\int_a^5 (12x^3 - 96x)\,dx = 675$ és:

Pregunta 13 (0,5 punts). Canvi de variable en una integral indefinida

Donada la integral $\int \sqrt{2 + e^x}\,dx$, si apliquem el canvi de variable definit per $t = \sqrt{2 + e^x}$ s'obté la nova integral:

Pregunta 14 [0,5 punts]. Àrea d'una regió plana entre corba i eix d'abscisses

El valor numèric de l'àrea de la regió del pla delimitada i acotada entre la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4$, l'eix de les $x$ i les rectes $x = 0$ i $x = 3$ és:

.

Pregunta 15 (0,5 punts). Càlcul de l'excedent del consumidor

Si la funció de demanda d'un producte és $p = D(q) = 180 - q^2$ i la funció d'oferta és $p = S(q) = (q + 6)^2$, on $p$ és el preu unitari i $q$ la quantitat demandada, aleshores quina de les següents integrals definides té com a resultat l'excedent del consumidor per al preu d'equilibri:

Pregunta 16 (0,5 punts). Equació diferencial ordinària separable

La solució general de l'equació diferencial $3(16 + y^2)\,dx + 2xy\,dy = 0$ verifica:

Pregunta 17 (0,5 punts). Equació diferencial lineal de primer ordre

La solució general de l'equació diferencial $y' - \frac{1}{2\sqrt{x}}y = 3x^2e^{\sqrt{x}}$ és:

Pregunta 18 (0,5 punts). Reducció d'una equació de Bernoulli a lineal

Si en l'equació diferencial de Bernoulli $y' + \frac{1}{x}y = x^5 y^2$ fem el canvi de variable $z = y^{-1}$, aleshores obtenim l'equació diferencial lineal de primer ordre:

.

Pregunta 19 (0,5 punts). Equació diferencial lineal de segon ordre a coeficients constants

La solució general de l'equació diferencial $y'' - 3y' + 2y = 10$ és:

Pregunta 20 (0,5 punts). Model continu d'ajust de preus de mercat

La taxa de variació del preu $P = P(t)$ d'un bé ve donada per l'equació diferencial:

$$\frac{dP}{dt} = 0.4 \cdot (D - S)$$

on $D = 34 - 8P$ és la funció de demanda i $S = 2P - 146$ és la funció d'oferta. Aleshores l'expressió general del preu $P(t)$ és: