Examen de Matemàtiques Ii UB 2023 · Juny

Considerant el següent problema d'òptims amb restriccions:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & f(x, y) = 3x^2 - xy \\ \text{s.a.:} \quad & x + y = 40 \end{aligned}$$

Indiqueu quina de les següents afirmacions és correcta:

.

Considerant el següent problema d'òptims amb restriccions:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & f(x, y) = 3x^2 - xy \\ \text{s.a.:} \quad & x + y = 40 \end{aligned}$$

En referència al problema d'òptims de la pregunta anterior, quina afirmació és certa respecte a la naturalesa del punt crític trobat?

.

Es considera el següent problema d'optimització condicionada:$$\begin{aligned}\text{Opt.}\quad & f(x, y, z) = 2x^2 + 5y^2 + 5yz \\\text{s.a.:}\quad & z - y = 40\end{aligned}$$prenent com a funció de Lagrange associada:$$L(x, y, z, \lambda) = 2x^2 + 5y^2 + 5yz - \lambda(z - y - 40)$$

Trieu l'opció que descriu el punt crític del problema:

Es considera el següent problema d'optimització condicionada:$$\begin{aligned}\text{Opt.}\quad & f(x, y, z) = 2x^2 + 5y^2 + 5yz \\\text{s.a.:}\quad & z - y = 40\end{aligned}$$prenent com a funció de Lagrange associada:$$L(x, y, z, \lambda) = 2x^2 + 5y^2 + 5yz - \lambda(z - y - 40)$$

Per al problema de la pregunta anterior, quina és la classificació de la matriu hessiana de la funció de Lagrange respecte a les variables $x, y, z$ en el punt crític trobat?

En resoldre mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange el problema:

$\begin{array}{ll}

\text{Opt.} & f(x,y,z) \\

\text{s.a.:} & 4x - 3y + 4z = -6000

\end{array}$

emprant la funció lagrangiana $L(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) - \lambda(4x - 3y + 4z + 6000)$, s'ha determinat que en l'òptim el multiplicador val $\lambda = 3$.

Si la restricció passa a ser $4x - 3y + 4z = -5997$, podem concloure que el valor de la funció objectiu en el nou punt òptim:

Pregunta 6 (0,5 punts). Resolució gràfica de programació lineal

Sigui el següent problema de programació lineal:

$\begin{array}{ll}

\text{Opt.} & f(x, y) = x - 10y \\

\text{s.a.:} & 3x + 2y \ge 6 \\

& -x + y \ge 1 \\

& -2x + y \le 2 \\

& x, y \ge 0

\end{array}$

Respecte a l'existència d'òptims, podem afirmar que el problema:

Pregunta 7 (0,5 punts). Formulació de restriccions en programació lineal

Una cooperativa vinícola produeix vi blanc i vi negre utilitzant tres varietats de raïm: A, B i C.

Per cada hectolitre de vi blanc, s'obté un benefici de 220 € i es requereixen 18 kg de raïm A, 62 kg de raïm B i 68 kg de raïm C.

Per cada hectolitre de vi negre, el benefici és de 270 € i es necessiten 55 kg de raïm A, 21 kg de raïm B i 62 kg de raïm C.

La cooperativa disposa d'un màxim de 3600 kg de raïm A i 3960 kg de raïm B.

Per motius de gestió d'estocs, s'ha d'utilitzar com a mínim una quantitat de 4320 kg de raïm C.

Si $x$ denota els hectolitres de vi blanc i $y$ els hectolitres de vi negre, quina de les següents condicions descriu correctament una de les restriccions del model?

.

Pregunta 8 (0,5 punts). Optimització no lineal amb restriccions d'inequació

Donat el següent problema de programació no lineal:

$\begin{aligned}

\text{Opt.} \quad & f(x, y) = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 \\

\text{s.a.:} \quad & x + y \le 6 \\

& x - y \le 0 \\

& x, y \ge 0

\end{aligned}$

En quin dels següents punts assoleix el problema el seu valor mínim?

.

Pregunta 9 (0,5 punts). Sensibilitat sobre coeficients de la funció objectiu

En resoldre un model de programació lineal mitjançant l'eina Solver d'Excel, s'ha obtingut el següent informe de sensibilitat:

En resoldre un model de programació lineal mitjançant l'eina Solver d'Excel, s'ha obtingut el següent informe de sensibilitat:

Cel·les canviants

Nom

Valor igual

Gradient Reduït

Coeficient objectiu

Augment Permissible

Decrement Permissible

variable x

400

0

7

∞

2

variable y

0

-14

8

28

∞

variable z

0

-12

10

14

∞

Restriccions

Nom

Valor Final

Preu Ombra

Restricció costat dret

Augment Permissible

Decrement Permissible

1a restricció

450

11

450

30

480

2a restricció

333

0

4200

∞

60

3a restricció

288

0

360

288

∞

A partir d'aquestes dades, si únicament es modifica el coeficient de la variable y a la funció objectiu passant de 8 a 18, què succeeix amb el punt òptim i el valor de la funció objectiu?

En resoldre un model de programació lineal mitjançant l'eina Solver d'Excel, s'ha obtingut el següent informe de sensibilitat:

Cel·les canviants

Nom

Valor igual

Gradient Reduït

Coeficient objectiu

Augment Permissible

Decrement Permissible

variable x

400

0

7

∞

2

variable y

0

-14

8

28

∞

variable z

0

-12

10

14

∞

Restriccions

Nom

Valor Final

Preu Ombra

Restricció costat dret

Augment Permissible

Decrement Permissible

1a restricció

450

11

450

30

480

2a restricció

333

0

4200

∞

60

3a restricció

288

0

360

288

∞

10 Pregunta 10 (0,5 punts). Sensibilitat sobre el terme independent (preu ombra)

Considerant la mateixa taula de sensibilitat de la pregunta anterior, si només s'incrementa en 10 unitats el terme independent de la primera restricció, el valor de la funció objectiu en el nou òptim:

Pregunta 11 [0,5 punts]. Integral indefinida quasi-immediata

El resultat de la integral indefinida $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}\,dx$ és igual a:

on $C$ és una constant real.

Pregunta 12 [0,5 punts]. Integral per parts

La integral indefinida $\int (2x + 1)e^{2x}\,dx$ és igual a:

on $C$ representa una constant real arbitrària.

Pregunta 13 [0,5 punts]. Integral per canvi de variable

Si en la integral $\int \sin(2x) \cdot (\cos(2x))^4\,dx$ s'aplica el canvi de variable $t = \cos(2x)$, quina és la integral resultant en funció de $t$?

Pregunta 14 [0,5 punts]. Àrea entre dues corbes

El valor de l'àrea compresa i acotada per les gràfiques de les funcions $f(x) = x^2 + 2x$ i $g(x) = x + 2$ és:

Pregunta 15 (0,5 punts). Variació del cost total a partir del cost marginal

La funció de cost marginal d'una empresa ve donada per $CMg(x) = C'(x) = 3\sqrt{2x + 1}$ euros per unitat. Si el nivell de producció passa de $x = 4$ a $x = 12$ unitats, quina és la variació experimentada pels costos totals?

Pregunta 16 (0,5 punts). Comprovació de solució d'una equació diferencial

De quina de les següents equacions diferencials és solució particular la funció $y = \frac{1}{x}$?

Pregunta 17 (0,5 punts). Equació diferencial de variables separables

Quina és la solució general de l'equació diferencial $y' = y^2(2x - 4)$?

on $C$ és una constant real.

Pregunta 18 (0,5 punts). Equació diferencial lineal de primer ordre

La solució general de l'equació diferencial lineal $y' - \frac{1}{2}y = x e^{x/2}$ és:

on $C$ és una constant real.

Pregunta 19 (0,5 punts). Equació diferencial lineal de segon ordre

Trobeu la solució general de l'equació diferencial lineal de segon ordre amb coeficients constants $y'' - 4y' + 4y = 4$:

on $A$ i $B$ són constants reals.

Pregunta 20 (0,5 punts). Model de creixement poblacional malthusià

El nombre d'habitants $N = N(t)$ d'una determinada població creix de manera proporcional al nombre d'habitants presents a cada instant de temps $t$ (mesurat en anys), complint l'equació diferencial:

$$\frac{dN}{dt} = k \cdot N$$

Se sap que al cap de dos anys la població s'ha duplicat respecte a la inicial ($N(2) = 2N(0)$) i que transcorreguts tres anys la població és de $63\,188$ habitants ($N(3) = 63\,188$). Quin era el nombre inicial d'habitants $N(0)$?