Examen de Matemàtiques I UB 2018 · reavaluació - 29 de gener de 2018

Considerant la forma quadràtica $q(x, y, z) = 3x^2 + 5y^2 + z^2 - 2xy$, determineu quina de les següents afirmacions és correcta:

Sigui el conjunt $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 \le x \le 3, \, y < 2\}$. Respecte a les seves propietats topològiques, es pot afirmar que:

Pregunta 3 (3 punts). Corbes de nivell

Per a la funció $f(x, y) = (x - 1)^2 + y^2$, indiqueu quina de les asseveracions següents és CERTA:

Pregunta 4 (3 punts). Homogeneïtat d'una funció

Donada la funció $f(x, y) = x^3 + x^2 y + e^{x/y}$, es pot afirmar que es tracta d'una funció:

Pregunta 5 (3 punts). Derivació implícita

A partir de la relació implícita $x^3 y + \ln(x y^2) = 1$, la qual defineix $y$ en funció de $x$ ($y = f(x)$) al voltant del punt $(1, 1)$, el valor de la derivada $\frac{dy}{dx}$ en aquest punt és:

Pregunta 6 (3 punts). Hiperplà tangent

L'equació del pla tangent al gràfic de la funció $f(x, y) = \ln(x^2 + 3y)$ en el punt $(1, 0)$ ve donada per:

Pregunta 7 (3 punts). Derivada direccional

Considerant la funció $f(x, y) = x^2 y + x y^2$, el valor de la derivada direccional en el punt $a = (-1, 1)$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1)$ és:

Pregunta 8 (3 punts). Matriu hessiana

Per a la funció $f(x, y) = e^{x+y^2}$, la matriu hessiana calculada en el punt $(1, 1)$ és:

Pregunta 9 (3 punts). Elasticitat parcial

L'elasticitat de la funció $f(x, y) = \sqrt{4x^3 y}$ respecte de la variable $x$ pren el valor:

Pregunta 10 (3 punts). Maximització de beneficis

Una empresa comercialitza el seu bé en dos mercats independents i el cost unitari de producció és constant i igual a 2 u.m. Les corbes de demanda inversa dels dos mercats són $p_1 = 10 - q_1$ i $p_2 = 8 - \frac{q_2}{2}$, on $p_1, p_2$ són els preus i $q_1, q_2$ les quantitats venudes. El benefici màxim que pot obtenir l'empresa (en unitats monetàries) és:

Pregunta 11 (3 punts). Regla de la cadena

Sigui $f(x, y, z) = \ln(2x + y - z)$ on les variables depenen de $r$ i $s$ segons $x = 2r + 3s$, $y = r^2$ i $z = rs$. La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial s}$ quan $r = 0$ i $s = 1$ val:

Pregunta 12 (3 punts). Punts crítics

Per a la funció $f(x, y) = x^2 + ye^y$, quin dels punts següents constitueix un punt crític?

.

Pregunta 13 (3 punts). Teorema de Weierstrass

Considerant la funció $f(x, y) = \frac{x}{y}$, en quin dels dominis $D$ següents podem garantir, pel teorema de Weierstrass, l'existència d'un màxim i d'un mínim absoluts?

a

$D = \{(x, y) \mid 1 \le x \le 5, 3 \le y \le 5\}$

b

$D = \{(x, y) \mid 1 \le x \le 5, 3 \le y\}$

c

$D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}$

d

$D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \ge 1\}$

Pregunta 14 (3 punts). Dependència lineal a R3

A partir del conjunt de vectors de $\mathbb{R}^3$ donat per $\{(1, 3, 1), (1, 5, 2), (1, 6, 3), (0, 1, 3)\}$, és correcte afirmar que:

a

És un conjunt de vectors linealment independent.

b

El tercer vector és combinació lineal dels dos primers

c

El rang de la matriu que formen és 2

d

En aquest conjunt podem trobar-hi 3 vectors linealment independents

Pregunta 15 (3 punts). Canvi de base

Quin és el vector de $\mathbb{R}^2$ que té com a components $(3, 4)$ en la base $\{(1, 1), (1, -1)\}$?

a

$(7, -1)$

b

$(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$

c

$(\frac{1}{2}, 1)$

d

$(\frac{1}{2}, -\frac{7}{2})$

Pregunta 16 (3 punts). Base depenent d'un paràmetre

El conjunt de vectors {$(k, 1, 3), (0, k, 1), (k, 0, 2)$}, amb $k \in \mathbb{R}$, constitueix una base de $\mathbb{R}^3$:

.

Pregunta 17 (3 punts). Vectors ortogonals

Si tenim dos vectors ortogonals a l'espai $\mathbb{R}^3$, aleshores és cert que:

.

Pregunta 18 (3 punts). Cosinus de l'angle entre vectors

El cosinus de l'angle format pels vectors de $\mathbb{R}^3$ $(2, -1, 3)$ i $(1, 3, -1)$ és aproximadament igual a:

Pregunta 19 (3 punts). Dimensió de subespai vectorial

Sigui el conjunt $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y;\, x = z\}$. Aleshores:

Pregunta 20 (3 punts). Sistema generador amb paràmetre

El conjunt de vectors $\{(3, 0, a), (1, 1, 2), (-2, 1, 1)\}$, amb $a \in \mathbb{R}$, és un sistema generador de $\mathbb{R}^3$: