Examen de Matemàtiques I UB 2018 · final - 8 de gener de 2018

Considereu l'espai vectorial $\mathbb{R}^n$. Quina de les asseveracions següents és certa?

Trobeu les coordenades $(\mu_1, \mu_2, \mu_3)$ del vector $\vec{u} = (3, 1, 3)$ respecte de la base de $\mathbb{R}^3$ integrada per $\{(1,0,2), (2,1,1), (0,3,0)\}$:

Considerant la família de vectors $\{(1,3,-1), (2,1,0), (-4,3,-2), (1,4,2)\}$, és cert que:

.

Determineu una base per al subespai vectorial $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - z = 0,\, x - y = 0\}$:

Quin dels següents vectors $(a, b, c)$ aconsegueix que el conjunt $\{(1, 0, 1), (0, -2, 0), (a, b, c)\}$ formi una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$?

Per a quins valors del paràmetre $k$ la distància euclidiana entre els vectors $(5, -1, k)$ i $(2, 3, 1)$ és exactament igual a $\sqrt{34}$ unitats?

Donada la forma quadràtica $q(x, y, z) = 3x^2 + az^2$, es pot concloure que:

El domini $D$ de definició de la funció escalar $f(x, y) = \sqrt{-x^2 + y + 4}$ correspon a:

Per a la funció escalar $f(x,y) = x^2 + y^2$, indiqueu quina afirmació és CERTA:

Calculeu el valor de la derivada direccional de la funció $f(x,y) = \ln(x + 2y)$ en el punt $a = (0, 1)$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (4, 3)$:

Trobeu la matriu hessiana de la funció $f(x,y) = (x - 1)e^y$ en el punt $(4, 2)$:

Donada la funció $f(x,y,z) = \sqrt{xyz + 1}$ i el punt $(x,y,z) = (2,3,4)$, quina afirmació és CERTA?

L'equació de l'hiperplà tangent a la gràfica de la funció $f(x, y, z) = \frac{2x - y}{z}$ en el punt $(2, -2, 1)$ és:

Donada la funció $f(x, y, z) = \sqrt{\frac{x^2}{yz}} + \ln\left(\frac{xy}{z^2}\right)$, podem afirmar que és una funció:

Considerant l'equació $5x^2y + 4y^2z + 3yz - 5 = 0$, que defineix implícitament $z$ com a funció de les variables $x$ i $y$ ($z = f(x, y)$) a l'entorn del punt $(-1, 1, 0)$, el valor de la derivada parcial $\frac{\partial z}{\partial x}$ en aquest punt és:

Sigui $f(x, y) = y\cos x + \sin(x^2)$, on $x = u + v$ i $y = 2u + 3v$. La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial u}$ és:

La regió del pla $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4x^2 + 2y - 1 > 0\}$ és un conjunt:

La funció $f(x, y, z) = 2x^2y - xz + 2z - y^2$ té:

Sigui $f$ una funció escalar diferenciable. Quina de les afirmacions següents és certa?

Una empresa tèxtil produeix dos béns, A i B, les funcions de demanda dels quals són $q_A = 10 - 10p_A + 3p_B$ i $q_B = 6 + 3p_A - p_B$. Els preus $p_A$ i $p_B$ que maximitzen la funció d'ingressos totals són: