Examen de Matemàtiques I UB 2015 · reavaluació - 15 de juliol de 2015

Pregunta 1 (3 punts). Independència lineal de vectors amb paràmetre

Trobeu per a quins valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$ són linealment independents els vectors $\vec{u}_1 = (3, 4k, 3k)$, $\vec{u}_2 = (5, 2, 7)$ i $\vec{u}_3 = (k, -k, 0)$.

Pregunta 2 (3 punts). Propietats de conjunts generadors i bases a $\mathbb{R}^3$

Sigui $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3\}$ una base de $\mathbb{R}^3$ i considerem els vectors $\vec{v}_1 = \vec{u}_2$, $\vec{v}_2 = \vec{u}_1$ i $\vec{v}_3 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$. Aleshores podem afirmar que:

Pregunta 3 (3 punts). Components d'un vector en una base

Calculeu les coordenades del vector $\vec{u} = (3, 1, 0)$ en la base formada per $\vec{u}_1 = (3, 0, -2)$, $\vec{u}_2 = (1, 1, 1)$ i $\vec{u}_3 = (2, 1, 0)$:

Sigui el conjunt $B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x - y = z\}$. Respecte a aquest conjunt es compleix que:

Donats els vectors de $\mathbb{R}^3$ $\vec{u} = (-2, 1, 0)$, $\vec{v} = (4, 1, -1)$ i $\vec{w} = (2, k, 0)$, quina afirmació és FALSA ?

Existeixen dos vectors de la forma $(k, 1)$ amb $k \in \mathbb{R}$ que estan a una distància de 5 unitats del vector $\vec{v} = (5, 4)$. Aquests dos vectors són:

Donada la forma quadràtica $Q(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 4z^2 + 2xy$, es verifica que:

Pregunta 8 (3 punts). Domini d'una funció de dues variables

Sigui la funció $f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{9 - x^2 - y^2}}$. El seu domini és un conjunt:

Pregunta 9 (3 punts). Corbes de nivell

Donada la funció $f(x, y) = (x + 3)^2 + (y - 2)^2$, es verifica que:

Pregunta 10 (3 punts). Derivada parcial a l'origen per definició

Donada la funció $$f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x - y} & \text{si } x - y \neq 0 \\ 0 & \text{si } x - y = 0 \end{cases}$$

el valor de la derivada parcial de $f$ respecte de $x$ en el punt $(0, 0)$ és:

Pregunta 11 (3 punts). Equació de l'hiperplà tangent

L'equació de l'hiperplà tangent a la funció $f(x, y, z) = \ln(x^2 y) + yz$ en el punt $(1, 1, -4)$ és:

La derivada de la funció $f(x, y) = 6xy^3 - 2x^2y$ en el punt $(0, 1)$ i segons la direcció del vector $(1, 1)$ (derivada direccional) és:

Pregunta 13 (3 punts). Elasticitat parcial unitària

El valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ que fa que l'elasticitat parcial respecte a $x$ de la funció $f(x, y) = e^{k^3 xy}$, en el punt $(4, 2)$, sigui unitària és:

Pregunta 14 (3 punts). Interpretació de la utilitat marginal

Sigui la funció d'utilitat $U(x, y)$, on $x$ i $y$ són les quantitats consumides de dos béns. Actualment s'estan consumint $x_0$ i $y_0$, respectivament, de cadascun dels dos béns. Aleshores:

Pregunta 15 (3 punts). Gradient d'una funció de tres variables

El gradient de la funció $f(x, y, z) = x^2 \cdot e^{y/z}$ en el punt $(2, 2, 2)$ és:

Pregunta 16 (3 punts). Derivació implícita

Si sabem que l'equació $3x^2 z - x^2 y^2 + 4z^3 + 3yz - 7 = 0$ defineix implícitament a $z$ com a funció implícita de $x$ i de $y$ ($z = z(x, y)$) en un entorn del punt $(x, y, z) = (0, 1, 1)$, llavors el valor de $\frac{\partial z}{\partial y}$ en aquest punt és:

La funció $f(x, y) = \frac{3xy}{2x + y}$ és:

.

Per a quina de les següents funcions es compleix el Teorema de Weierstrass?

Donada la funció $f(x, y, z) = 2xy^2 - yz + 2z - x^2$, es compleix que al punt $(4, 2, 32)$:

Sigui $B(x, y)$ la funció de beneficis anuals d'una empresa per la fabricació de dos productes $A$ i $B$, on $x$ i $y$ són les unitats respectives produïdes de cadascun dels productes. Si se sap que $B(100, 250) = 10.500$, $\frac{\partial B(100, 250)}{\partial x} = 2.340$ i $\frac{\partial B(100, 250)}{\partial y} = 1.800$, llavors: