Examen de Matematiques Iii UPF 2021 · final. Curs 2021-2022

Exercici 1 (15 punts). Diagonalització i descomposició espectral

Es defineixen la matriu $A$ i els vectors $X, Y$ com:

$$A = \begin{pmatrix} 6 & b & a \\ b & 6 & a \\ a & a & 5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

on els paràmetres compleixen $a < 0$, $b \neq 0$ i $k \in \mathbb{R}$.

a)

Justifiqueu si és possible assegurar que la matriu $A$ és sempre diagonalitzable. [3 punts]

b)

Determineu el valor dels coeficients $a$ i $b$ sabent que el vector $X$ és un vector propi de $A$ amb valor propi associat $\lambda = 8$, i que a més $\lambda = 6$ és també valor propi de $A$. [6 punts]

c)

Amb els paràmetres $a$ i $b$ obtinguts en l'apartat anterior, sabent que $Y$ és vector propi de $A$, calculeu $k$ i trobeu la representació espectral de $A$ (és a dir, una matriu ortogonal $U$ i una matriu diagonal $D$ de manera que $A = UDU^{-1}$). [6 punts]

Exercici 2 [10 punts]. Optimització lliure d'una funció multivariable

Trobeu els extrems globals de la funció

$$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2xy - \ln(x) - \ln(y) + e^{z^2 - 2z}$$

i classifiqueu-los com a màxims o mínims.

$($

$,$

$,$

$)$

Exercici 3 (10 punts). Optimització amb restriccions d'igualtat

Considereu el problema d'optimització de la funció $f(x, y, z) = 2x + y + z$ subjecta a les restriccions:

$$(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = 9 \quad \text{i} \quad x^2 + 3y - 3z = 10$$

a)

[8 punts] Determineu si els punts $(1, 2, -1)$ i $(-1, 3, 0)$ són punts òptims del problema, i en cas afirmatiu indiqueu si es tracta de màxims o de mínims globals.

b)

[2 punts] Raoneu si la funció lagrangiana associada al problema ha de tenir altres punts estacionaris addicionals.

Exercici 4 (15 punts). Optimització amb desigualtats (Kuhn-Tucker)

Es considera la funció $f(x, y, z) = x + y + z^2$ subjecta a la restricció de desigualtat:

$$x^2 + y^2 - 6z^2 \le 18$$

a)

[8 punts] Trobeu els punts candidats a extrem del problema mitjançant les condicions de Kuhn-Tucker.

b)

[4 punts] Classifiqueu els punts trobats com a màxims o mínims globals. Si algun candidat no és extrem, justifiqueu-ne la raó.

c)

[3 punts] Si es canvia la restricció per $x^2 + y^2 - 6z^2 \le c$, amb $c$ proper a $18$, determineu per a quins valors de $c$ disminueix el valor òptim obtingut anteriorment.

Exercici 5 (10 punts). Estudi d'una equació en diferències de primer ordre

Considereu l'equació en diferències:$$x_{t+1} + (2 - k)x_t = k$$on $k \neq 2$ és un paràmetre real. Determineu la solució general de l'equació en funció de $k$, analitzeu la seva estabilitat i descriviu el comportament asimptòtic de les trajectòries per al cas concret $k = 3/2$.

1.

Solució general: Trobeu l'expressió de $x_t$ segons el valor del paràmetre $k$ (expressada en funció de $x_0$, $k$ i $t$):

2.

Estabilitat: Per a quins valors de $k$ és l'equació asimptòticament estable? (Recordeu que $k \neq 2$)

3.

Comportament asimptòtic per a $k = 3/2$: Trieu l'opció que descriu millor el comportament de les trajectòries:

Exercici 6 (15 punts). Equació en diferències de segon ordre

Es considera l'equació en diferències lineal de segon ordre:

$$5x_{t+2} + 10x_{t+1} + 10x_t = t$$

a)

(10 punts) Trobeu la solució general de l'equació.

b)

(3 punts) Calculeu la solució particular que compleix les condicions inicials $x_0 = x_1 = \frac{1}{125}$ i analitzeu el seu comportament asimptòtic.

c)

(2 punts) Raoneu si és esperable que totes les solucions de l'equació tinguin el mateix comportament asimptòtic que la trobada en l'apartat anterior.

Exercici 7 (10 punts). Resolució d'una equació diferencial ordinària

Trobeu la solució de l'equació diferencial$$\dot{x} = e^x t \cos t$$que satisfà la condició inicial $x(0) = -\ln(2)$.

Exercici 8 (15 punts). Equació diferencial lineal de segon ordre

Es considera l'equació diferencial$$\ddot{x}(t) + a\dot{x}(t) = e^{3t}$$on $a \in \mathbb{R}$ és un paràmetre real.

a.

(9 punts) Trobeu la solució general de l'equació segons els diferents valors del paràmetre $a$.

b.

(3 punts) Determineu si és possible trobar algun valor de $a$ que faci que l'equació sigui asimptòticament estable.

c.

(3 punts) Per al cas concret $a = -4$, trobeu la solució particular que satisfà les condicions inicials $x(0) = -\frac{1}{3}$ i $\dot{x}(0) = 3$.