Apunts de Matemàtiques III UPF: UPF Economia: apunts…

Índice · 18

Tema 1: Àlgebra lineal

01Valors propis, vectors propis i multiplicitats 02Diagonalització de matrius i càlcul de potències 03Teorema espectral per a matrius simètriques 04Formes quadràtiques i caràcter de matrius

Tema 2: Optimització multivariable

05Concavitat, convexitat i extrems lliures 06Optimització amb restriccions d'igualtat de Lagrange 07Condicions de Kuhn-Tucker per a desigualtats 08Resolució pràctica de Kuhn-Tucker i preus ombra

Tema 3: Equacions en diferències

09Conceptes fonamentals i comportament asimptòtic 10Equacions lineals de primer ordre completes 11Estabilitat i aplicacions financeres de primer ordre 12Equacions lineals de segon ordre 13Estabilitat i règim oscil·latori de segon ordre

Tema 4: Equacions diferencials

14Fonaments d'integració i trigonometria 15Equacions diferencials ordinàries de primer ordre 16Equacions diferencials lineals de segon ordre: cas homogeni 17Equacions diferencials lineals de segon ordre: cas complet i estabilitat 18Formulari

Tema 1

Àlgebra lineal

4 apartados

01Valors propis, vectors propis i multiplicitats

Al acabar sabrás 12 % de los puntos del examen

Calcular el polinomi i l'equació característica d'una matriu quadrada.
Trobar els valors propis reals i determinar la seva multiplicitat algebraica.
Calcular la multiplicitat geomètrica i obtenir una base de l'espai propi associat.

Piénsalo antes de leer

Què li fa una matriu a un vector que apunta exactament en una de les seves direccions fonamentals?

Ver la respuesta

Només n'altera la longitud o el sentit multiplicant-lo per un escalar (el valor propi), sense desviar-ne la direcció original en l'espai.

L'estudi dels valors i vectors propis constitueix la pedra angular de l'àlgebra lineal aplicada a l'economia i l'enginyeria. Permet simplificar transformacions complexes identificant direccions invariants, calcular potències de matrius per analitzar processos dinàmics i estudiar la concavitat o convexitat de funcions de diverses variables.

Esquema

Estructura del bloc d'àlgebra lineal

📐Valors i vectors propisCàlcul d'autovalors, equació característica i multiplicitats

🔄Diagonalització de matriusConstrucció de matrius P i D, i potències A^k

⭐Teorema espectralMatrius simètriques i diagonalització ortogonal

📊Formes quadràtiquesClassificació de signe mitjançant valors propis i menors

1. Definició de valor propi i vector propi

Considerem una matriu quadrada $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . Quan multipliquem $A$ per un vector qualsevol de l'espai $\mathbb{R}^n$ , el resultat sol ser un nou vector amb una magnitud diferent i una direcció completament nova. Tanmateix, existeixen determinades direccions privilegiades que mantenen la seva orientació.

Definició

Un escalar $\lambda \in \mathbb{R}$ s'anomena valor propi (o autovalor) de la matriu $A$ si existeix un vector $v \in \mathbb{R}^n$ no nul ( $v \neq \vec{0}$ ) tal que:

A v = \lambda v

El vector $v$ rep el nom de vector propi (o autovector) associat al valor propi $\lambda$ .

Intuïtivament, la matriu $A$ actua sobre el seu vector propi $v$ com un simple factor d'escala: l'allarga, l'escurça o li inverteix el sentit segons el valor i signe de $\lambda$ , sense alterar la recta sobre la qual descansa.

Exemple

Comprovem si el vector $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és vector propi de la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ :

A v = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 v

Com que el resultat és exactament $3 v$ amb $v \neq \vec{0}$ , deduïm que $v$ és un vector propi de $A$ associat al valor propi $\lambda = 3$ .

Error freqüent

Un vector propi mai pot ser el vector nul ( $v \neq \vec{0}$ per definició), ja que $A \vec{0} = \lambda \vec{0}$ es compleix per a qualsevol escalar sense aportar informació sobre la matriu. En canvi, un valor propi sí que pot ser zero ( $\lambda = 0$ ); això simplement indica que el sistema homogeni $A v = \vec{0}$ té solucions no trivials i que la matriu té determinant zero.

Comprueba

Si un vector v compleix A v = 0 amb v distint de zero, és v un vector propi? De quin valor propi?

2. Polinomi característic i equació característica

Per trobar els valors propis d'una matriu sense haver d'endevinar vectors, reorganitzem l'equació fonamental $A v = \lambda v$ restant el terme de la dreta:

A v - \lambda v = \vec{0} \iff (A - \lambda I_n) v = \vec{0}

on $I_n$ representa la matriu identitat d'ordre $n$ . Aquesta expressió és un sistema lineal homogeni. Si la matriu de coeficients $(A - \lambda I_n)$ fos invertible, l'única solució seria la trivial $v = \vec{0}$ . Per tant, perquè existeixi una solució $v \neq \vec{0}$ , cal que el sistema sigui compatible indeterminat, condició que exigeix que el seu determinant sigui nul.

Definició

El polinomi característic d'una matriu quadrada $A$ és el polinomi de grau $n$ en la variable $\lambda$ definit per:

p(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)

La igualtat $p(\lambda) = 0$ rep el nom d'equació característica. Els valors propis reals de $A$ són exactament les arrels reals de l'equació característica.

D'acord amb el teorema fonamental de l'àlgebra, una matriu d'ordre $n$ té com a màxim $n$ valors propis reals (comptant multiplicitats). Si alguna arrel té part imaginària pura o complexa conjugada, la matriu no disposarà de $n$ valors propis en el cos dels reals $\mathbb{R}$ .

Exemple

Trobem els valors propis de la matriu $A = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ :

\begin{aligned}p(\lambda)&= \det(A - \lambda I_2) = \det\begin{pmatrix} -1 - \lambda & 6 \\ 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = (-1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 \\[6pt] &= \lambda^2 - 3\lambda - 10\end{aligned}

Igualem el polinomi a zero per plantejar l'equació característica:

\lambda^2 - 3\lambda - 10 = 0 \implies \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}

Obtenim dos valors propis reals diferents: $\lambda_1 = 5$ i $\lambda_2 = -2$ .

Comprueba

Quants valors propis reals pot tenir una matriu real 3 × 3 amb polinomi característic p(λ) = -(λ - 2)(λ² + 1)?

3. Espai propi, multiplicitat algebraica i multiplicitat geomètrica

Un cop obtingut un valor propi $\lambda$ , el conjunt de tots els vectors que satisfan l'equació homogènia forma un subespai vectorial anomenat espai propi (o subespai característic):

E_\lambda = \operatorname{Nuc}(A - \lambda I_n) = \{ v \in \mathbb{R}^n : (A - \lambda I_n) v = \vec{0} \}

Aquest subespai conté el vector nul juntament amb tots els vectors propis associats a $\lambda$ .

Concepte	Notació	Definició matemàtica	Interpretació
Multiplicitat algebraica	$m_a(\lambda)$	Vegades que $\lambda$ apareix com a arrel de $p(\lambda) = 0$	Repetició teòrica com a solució polinòmica
Multiplicitat geomètrica	$m_g(\lambda)$	$\dim(E_\lambda) = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I_n)$	Nombre de vectors propis linealment independents

Entre ambdues multiplicitats es compleix sempre una relació d'ordre fonamental:

1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)

És a dir, la dimensió de l'espai propi és com a mínim 1 i mai pot superar la multiplicitat algebraica. Aquesta relació és el requisit clau que determinarà si una matriu és diagonalitzable (vegeu «Tema 1: Àlgebra lineal — Diagonalització de matrius i càlcul de potències»).

Procés

Càlcul de valors i espais propis

1📝Plantejar det(A - λI) = 0Formular el polinomi característic de grau n

→

2🔍Trobar les arrels realsIdentificar valors propis i multiplicitats algebraiques ma

→

3⚙️Resoldre (A - λI)v = 0Resoldre el sistema homogeni indeterminat per a cada λ

→

4🎯Obtenir la base d'E_λIdentificar vectors linealment independents i comprovar mg

Exemple

Determinem els espais propis i les multiplicitats de la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Càlcul de valors propis i multiplicitat algebraica:
$p(\lambda) = \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & 0 \\ 0 & 3 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)^2(3 - \lambda) = 0$
Els valors propis són $\lambda_1 = 1$ amb $m_a(1) = 2$ , i $\lambda_2 = 3$ amb $m_a(3) = 1$ .
Espai propi per a $\lambda_1 = 1$ : Resolem $(A - 1 I_3)v = \vec{0}$ :
$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies 2y = 0 \implies y = 0$
Les incògnites $x$ i $z$ són lliures. Els vectors tenen la forma $\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Una base de $E_1$ és $\{ (1, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T \}$ , de manera que $m_g(1) = 2$ .
Espai propi per a $\lambda_2 = 3$ : Com que $m_a(3) = 1$ , immediatament sabem que $m_g(3) = 1$ . Resolem $(A - 3 I_3)v = \vec{0}$ :
$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} -2x + 2y = 0 \implies y = x \\ -2z = 0 \implies z = 0 \end{cases}$
Una base de $E_3$ és $\{ (1, 1, 0)^T \}$ .

Comprueba

Si una matriu quadrada 4 × 4 té un valor propi λ amb multiplicitat algebraica ma(λ) = 3 i el rang de (A - λI) és 2, quina és la multiplicitat geomètrica mg(λ)?

Ideas clave

Un vector propi ha de ser estrictament no nul ( $v \neq \vec{0}$ ), mentre que el valor propi associat $\lambda$ sí que pot ser zero.
Els valors propis reals són les arrels del polinomi característic $p(\lambda) = \det(A - \lambda I_n) = 0$ .
L'espai propi $E_\lambda = \operatorname{Nuc}(A - \lambda I_n)$ és el conjunt de vectors que resolen el sistema homogeni associat.
La multiplicitat algebraica $m_a(\lambda)$ és el nombre de vegades que $\lambda$ és arrel de l'equació característica.
La multiplicitat geomètrica $m_g(\lambda) = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I_n)$ representa la dimensió de $E_\lambda$ i satisfà sempre $1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)$ .

Comprueba lo que has aprendido

Per què cal imposar la condició

\det(A - \lambda I_n) = 0

per trobar els valors propis d'una matriu?

Perquè el sistema homogeni

(A - \lambda I_n)v = \vec{0}

tingui solucions no nul·les (vectors propis), la matriu ha de ser no invertible (singular), fet equivalent a tenir determinant nul.

Quina relació de desigualtat vincula sempre la multiplicitat geomètrica i l'algebraica d'un valor propi?

Es compleix que

1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda)

: la dimensió de l'espai propi és com a mínim 1 i mai supera la multiplicitat algebraica de l'arrel.

Repaso rápido

0 XP

Quina condició és imprescindible perquè un vector v sigui vector propi de la matriu A?

Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Más información