Exercici 6 · Matematiques Iii UPF 2021

Tema: Equacions en diferències de segon ordre · Del examen Examen final. Curs 2021-2022 (2021)

Enunciado

Exercici 6 (15 punts). Equació en diferències de segon ordre

Es considera l'equació en diferències lineal de segon ordre:

5xt+2+10xt+1+10xt=t5x_{t+2} + 10x_{t+1} + 10x_t = t

a)

(10 punts) Trobeu la solució general de l'equació.

b)

(3 punts) Calculeu la solució particular que compleix les condicions inicials x0=x1=1125x_0 = x_1 = \frac{1}{125} i analitzeu el seu comportament asimptòtic.

c)

(2 punts) Raoneu si és esperable que totes les solucions de l'equació tinguin el mateix comportament asimptòtic que la trobada en l'apartat anterior.

Enunciado: Exercici 6 · Matematiques Iii UPF 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) (10 punts) Trobeu la solució general de l'equació.

Solución: xt=(2)t(Acos⁡(3π4t)+Bsin⁡(3π4t))−4125+t25x_t = (\sqrt{2})^t \left(A \cos\left(\frac{3\pi}{4}t\right) + B \sin\left(\frac{3\pi}{4}t\right)\right) - \frac{4}{125} + \frac{t}{25}

b) Valor de A:

Solución: 1/25 / 0.04

b) Valor de B:

Solución: 1/25 / 0.04

b) Comportament asimptòtic:

Solución: oscil·lacions explosives

c) (2 punts) Raoneu si és esperable que totes les solucions de l'equació tinguin el mateix comportament asimptòtic que la trobada en l'apartat anterior.

Solución: No totes les solucions tindran aquest comportament. Si es triessin condicions inicials tals que A = 0 i B = 0, la part homogènia s'anul·laria i la solució seria exactament la solució particular x_t = -4/125 + t/25, la qual no presenta oscil·lacions sinó un comportament monòton divergent cap a +∞.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 6 · 2021 · Problema 8 · Juny 2017 ›

Más ejercicios de Equacions en diferències de segon ordre