Exercici 1 · Matematiques Iii UPF 2021

Exercici 1 (15 punts). Diagonalització i descomposició espectral

Es defineixen la matriu $A$ i els vectors $X, Y$ com:

$$A = \begin{pmatrix} 6 & b & a \\ b & 6 & a \\ a & a & 5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

on els paràmetres compleixen $a < 0$, $b \neq 0$ i $k \in \mathbb{R}$.

a)

Justifiqueu si és possible assegurar que la matriu $A$ és sempre diagonalitzable. [3 punts]

b)

Determineu el valor dels coeficients $a$ i $b$ sabent que el vector $X$ és un vector propi de $A$ amb valor propi associat $\lambda = 8$, i que a més $\lambda = 6$ és també valor propi de $A$. [6 punts]

c)

Amb els paràmetres $a$ i $b$ obtinguts en l'apartat anterior, sabent que $Y$ és vector propi de $A$, calculeu $k$ i trobeu la representació espectral de $A$ (és a dir, una matriu ortogonal $U$ i una matriu diagonal $D$ de manera que $A = UDU^{-1}$). [6 punts]