Exercici 8 · Matematiques Iii UPF 2021

Tema: Equacions diferencials lineals de segon ordre · Del examen Examen final. Curs 2021-2022 (2021)

Enunciado

Exercici 8 (15 punts). Equació diferencial lineal de segon ordre

Es considera l'equació diferencialx¨(t)+ax˙(t)=e3t\ddot{x}(t) + a\dot{x}(t) = e^{3t}on a∈Ra \in \mathbb{R} és un paràmetre real.

a.

(9 punts) Trobeu la solució general de l'equació segons els diferents valors del paràmetre aa.

b.

(3 punts) Determineu si és possible trobar algun valor de aa que faci que l'equació sigui asimptòticament estable.

c.

(3 punts) Per al cas concret a=−4a = -4, trobeu la solució particular que satisfà les condicions inicials x(0)=−13x(0) = -\frac{1}{3} i x˙(0)=3\dot{x}(0) = 3.

Enunciado: Exercici 8 · Matematiques Iii UPF 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (9 punts) Trobeu la solució general de l'equació segons els diferents valors del paràmetre a.

Solución: Cas a≠0a \neq 0 i a≠−3a \neq -3: x(t)=A+Be−at+19+3ae3tx(t) = A + Be^{-at} + \frac{1}{9+3a}e^{3t} / Cas a=−3a = -3: x(t)=A+Be3t+t3e3tx(t) = A + Be^{3t} + \frac{t}{3}e^{3t} / Cas a=0a = 0: x(t)=A+Bt+19e3tx(t) = A + Bt + \frac{1}{9}e^{3t}

b. (3 punts) Determineu si és possible trobar algun valor de a que faci que l'equació sigui asimptòticament estable.

Solución: No és possible: l'equació és inestable per a tots els valors de a.

c. (3 punts) Per al cas concret a = -4, trobeu la solució particular que satisfà les condicions inicials x(0) = -1/3 i x'(0) = 3.

Solución: x(t)=−1+e4t−13e3tx(t) = -1 + e^{4t} - \frac{1}{3}e^{3t}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 8 · 2021 · Problema 3 · Juny 2018 ›

Más ejercicios de Equacions diferencials lineals de segon ordre