Examen de Matematiques Iii UPF 2021 · recuperació 2021-2022

Sigui $A$ una matriu real quadrada de dimensió $3 \times 3$ de la qual es coneixen les següents imatges vectorials:

$$A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

a)

[3 punts] Argumenteu si la matriu $A$ resulta ser diagonalitzable.

b)

[7 punts] Determineu una matriu diagonal $D$ i una matriu ortogonal $U$ de manera que es verifiqui la relació $U^t A U = D$. A partir d'aquest resultat, calculeu la potència $A^{40}$.

Exercici 2 (10 punts). Matriu hessiana i curvatura d'una funció

Es considera una funció $f(x, y, z)$ de classe $C^2$ a tot $\mathbb{R}^3$ que té per matriu hessiana:

$$Hf(x, y, z) = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & a^3 \end{pmatrix}$$

on $a \in \mathbb{R}$ és un paràmetre.

a)

(8 punts) Analitzeu, segons els diferents valors del paràmetre $a$, si la funció $f$ és còncava, convexa o ni còncava ni convexa globalment a $\mathbb{R}^3$.

b)

(2 punts) Suposant que per a $a = -3$ la funció té un únic punt crític $P$, determineu raonadament si aquest punt correspon a un màxim global, un mínim global o bé cap dels dos.

Exercici 3 (15 punts). Optimització amb restriccions d'igualtat

Es planteja el problema d'optimitzar la funció objectiu $f(x, y, z) = x + y + z$ sota la restricció d'igualtat:

$$x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 7$$

a)

(7 punts) Calculeu els punts estacionaris de la funció de Lagrange associada al problema.

b)

(4 punts) Classifiqueu els punts obtinguts a l'apartat anterior indicant si són màxims globals, mínims globals o cap dels dos.

c)

(4 punts) Sense tornar a resoldre completament el problema d'optimització, proporcioneu una aproximació dels nous valors òptims en el supòsit que el terme independent de la restricció passi a ser $x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 6.6$.

Exercici 4 (10 punts). Condicions de Kuhn-Tucker i optimització no lineal

Es considera el problema de maximitzar la funció $f(x, y, z) = 3y + 5z - e^x$ subjecta a les restriccions:

$$\begin{cases} x - y + z \le -1 \\ x - 2y - 2z \ge -2 \end{cases}$$

a)

(8 punts) Apliqueu les condicions de Kuhn-Tucker per trobar els punts candidats a extrem relatiu o absolut.

b)

(2 punts) Classifiqueu els punts trobats en màxims o mínims globals. Si algun candidat no és extrem, justifiqueu-ne el motiu.

Exercici 5 (10 punts). Model d'inversió amb equacions en diferències

Un inversor aconsegueix una rendibilitat anual neta del $4\%$ operant en borsa, però suporta unes despeses de gestió fixes de $6000$ euros l'any. Es pressuposa que tant la rendibilitat com les despeses romanen constants indefinidament.

a)

Trobeu per a quins nivells de capital inicial invertit el valor de la cartera de l'inversor experimentarà un creixement estrictament positiu any rere any.

b)

Si l'aportació inicial és exactament de $239830$ euros, determineu el nombre d'anys que hauran de transcórrer perquè el capital s'hagi incrementat en un $30\%$.

Exercici 6 (15 punts). Equació en diferències de segon ordre

Es considera l'equació en diferències lineal de segon ordre amb coeficients constants:$$x_{t+2} - 4x_{t+1} + kx_t = 5^{\alpha t}$$on $k \ne 0$ i $\alpha$ són paràmetres reals.

a)

Fixat $\alpha = 1$, determineu per a quins valors de $k$ l'equació admet una solució particular de la forma $x_t^p = C \cdot 5^t$, amb $C$ una constant real.

b)

Suposant ara $\alpha = 0$, trobeu l'expressió de la solució general de l'equació en funció del paràmetre $k$ en el rang $0 < k \le 4$.

Exercici 7 (15 punts). Integral indefinida i equació diferencial de primer ordre

a.

(5 punts) Calculeu la integral indefinida següent: $$\int x \sin x \, dx$$

b.

(10 punts) Trobeu la solució de l'equació diferencial ordinària de primer ordre: $$\dot{x} = \frac{\sin t}{t} - \frac{2}{t}x$$ que satisfà la condició inicial $x(\pi/2) = 8/\pi^2$.

Exercici 8 (15 punts). Equació diferencial lineal de segon ordre i estabilitat

Es considera l'equació diferencial lineal de segon ordre: $$\ddot{x}(t) + 2\dot{x}(t) + 5x(t) = 8e^{-t}$$

a.

(6 punts) Determineu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada.

b.

(7 punts) Calculeu la solució particular de l'equació completa que compleix les condicions inicials $x(0) = 1$ i $\dot{x}(0) = 1$.

c.

(2 punts) A partir dels desenvolupaments previs, escriviu una solució de l'equació que tingui un comportament monòton i una altra que tingui un comportament oscil·lant. Discutiu si l'equació és estable i si la coexistència de solucions monòtones i oscil·lants resulta coherent amb la dita estabilitat.