Exercici 5 · Matematiques Iii UPF 2021

Exercici 5 (10 punts). Estudi d'una equació en diferències de primer ordre

Considereu l'equació en diferències:$$x_{t+1} + (2 - k)x_t = k$$on $k \neq 2$ és un paràmetre real. Determineu la solució general de l'equació en funció de $k$, analitzeu la seva estabilitat i descriviu el comportament asimptòtic de les trajectòries per al cas concret $k = 3/2$.

1.

Solució general: Trobeu l'expressió de $x_t$ segons el valor del paràmetre $k$ (expressada en funció de $x_0$, $k$ i $t$):

2.

Estabilitat: Per a quins valors de $k$ és l'equació asimptòticament estable? (Recordeu que $k \neq 2$)

3.

Comportament asimptòtic per a $k = 3/2$: Trieu l'opció que descriu millor el comportament de les trajectòries: