Exercici 2 · Matematiques Iii UPF 2021

Exercici 2 (10 punts). Matriu hessiana i curvatura d'una funció

Es considera una funció $f(x, y, z)$ de classe $C^2$ a tot $\mathbb{R}^3$ que té per matriu hessiana:

$$Hf(x, y, z) = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & a^3 \end{pmatrix}$$

on $a \in \mathbb{R}$ és un paràmetre.

a)

(8 punts) Analitzeu, segons els diferents valors del paràmetre $a$, si la funció $f$ és còncava, convexa o ni còncava ni convexa globalment a $\mathbb{R}^3$.

b)

(2 punts) Suposant que per a $a = -3$ la funció té un únic punt crític $P$, determineu raonadament si aquest punt correspon a un màxim global, un mínim global o bé cap dels dos.