Exercici 6 · Matematiques Iii UPF 2021

Exercici 6 (15 punts). Equació en diferències de segon ordre

Es considera l'equació en diferències lineal de segon ordre amb coeficients constants:$$x_{t+2} - 4x_{t+1} + kx_t = 5^{\alpha t}$$on $k \ne 0$ i $\alpha$ són paràmetres reals.

a)

Fixat $\alpha = 1$, determineu per a quins valors de $k$ l'equació admet una solució particular de la forma $x_t^p = C \cdot 5^t$, amb $C$ una constant real.

b)

Suposant ara $\alpha = 0$, trobeu l'expressió de la solució general de l'equació en funció del paràmetre $k$ en el rang $0 < k \le 4$.