Exercici 1 · Matematiques Iii UPF 2021

Tema: Valors propis, diagonalització i teorema espectral · Del examen Examen de recuperació 2021-2022 (2021)

Enunciado

Sigui AA una matriu real quadrada de dimensió 3×33 \times 3 de la qual es coneixen les següents imatges vectorials:

A(110)=(000),A(1−10)=(2−20),A(001)=(00−1)A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

a)

[3 punts] Argumenteu si la matriu AA resulta ser diagonalitzable.

b)

[7 punts] Determineu una matriu diagonal DD i una matriu ortogonal UU de manera que es verifiqui la relació UtAU=DU^t A U = D. A partir d'aquest resultat, calculeu la potència A40A^{40}.

Enunciado: Exercici 1 · Matematiques Iii UPF 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) (3 punts) Argumenteu si la matriu A resulta ser diagonalitzable.

Solución: Sí, és diagonalitzable perquè té 3 valors propis reals diferents (0, 2, -1) en dimensió 3, els vectors propis associats són linealment independents i formen una base de R^3.

b) Determineu una matriu diagonal D

Solución: D=(00002000−1)D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

b) Determineu una matriu ortogonal U de manera que es verifiqui la relació U^t A U = D

Solución: U=(1212012−120001)U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) A partir d'aquest resultat, calculeu la potència A^40

Solución: A40=(239−2390−2392390001)A^{40} = \begin{pmatrix} 2^{39} & -2^{39} & 0 \\ -2^{39} & 2^{39} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 1 · 2021 ›

Más ejercicios de Valors propis, diagonalització i teorema espectral