Exercici 8 · Matematiques Iii UPF 2021

a. (6 punts) Determineu la solució general de l'equació diferencial homogènia associada.

Solución: $e^{-t}(A\cos(2t) + B\sin(2t))$

b. (7 punts) Calculeu la solució particular de l'equació completa que compleix les condicions inicials x(0) = 1 i \dot{x}(0) = 1.

Solución: $e^{-t}(\sin(2t) - \cos(2t) + 2)$

c. (2 punts) A partir dels desenvolupaments previs, escriviu una solució de l'equació que tingui un comportament monòton i una altra que tingui un comportament oscil·lant. Discutiu si l'equació és estable i si la coexistència de solucions monòtones i oscil·lants resulta coherent amb la dita estabilitat.

Solución: Monòtona: $x(t) = 2e^{-t}$; Oscil·lant: $x(t) = e^{-t}(\sin(2t) - \cos(2t) + 2)$. L'equació és globalment asimptòticament estable perquè $\mathrm{Re}(r) = -1 < 0$.