Problema 8 · Matematiques Iii UPF 2015

8 (15 p) Problema de programació lineal i dualitat

L' Aliança rebel necessita renovar-se per lluitar contra el New Ordre. La principal fàbrica de Ahleen construeix principalment naus estel·lars dels tipus X-wing, Y-wing i B-wing, que es venen a l'Aliança per $60$, $50$ i $30$ milions de crèdits, respectivament. La fàbrica disposa de $2000$ tones d'alumini i de $1500$ de tal·li. A la producció d'una X-wing es necessiten $2$ tones d'alumini i $2$ de tal·li. Per a produir una Y-wing, es necessiten $2$ tones d'alumini i $1$ de tal·li. Finalment, per a produir una B-wing es requereixen $2$ tones d'alumini i $6$ de tal·li.

a)

[2 p] Escriviu el problema per maximitzar els ingressos de la principal fàbrica de Ahleen.

b)

[5 p] Escriviu el problema dual de l'anterior i resoleu-lo gràficament. Podeu fer servir la quadrícula proporcionada.

$u^* =$, $v^* =$

c)

[6 p] Useu els resultats anteriors per trobar raonadament quantes naus estel·lars cal produir per obtenir el màxim ingrés a la fàbrica.

Quantitat de X-wing ($x^*$):

Quantitat de Y-wing ($y^*$):

Quantitat de B-wing ($z^*$):

d)

[2 p] Quan un ambaixador de l'Aliança arriba a Ahleen per negociar el lliurament de les naus produïdes, ofereix portar una tona extra d'alumini o de tal·li. Quina de les dues és més convenient pels ingressos de la fàbrica?

Alumini

Tal·li