Examen de Matematiques Iii UPF 2013 · recuperació. Maig 2013

Pregunta 1 (10 punts). Recta que passa per dos punts i pla perpendicular

Es considera la recta $r$ que uneix els punts $(1,2,3)$ i $(2,-1,4)$. Cal respondre a les següents qüestions:

a.

Troba l'equació general o implícita de la recta $r$ expressada com a intersecció de dos plans. [4 punts]

b.

Determina l'equació del pla $\pi$ perpendicular a $r$ que passa pel punt $(1,1,1)$. [3 punts]

c.

Escriu l'equació vectorial de la recta $s$ que conté el punt $(0,0,1)$ i resulta perpendicular al pla $\pi$ obtingut a l'apartat anterior. Quina posició relativa tenen $r$ i $s$? [3 punts]

Es considera el conjunt $S$ definit pel semicercle que apareix representat a la figura:

a)

Troba les coordenades del punt o punts on la funció $f(x, y) = x - y$ assoleix el seu màxim i el seu mínim a $S$, emprant el mètode gràfic i justificant el procediment. [6 punts]

b)

Són globals els extrems que s'han determinat a l'apartat anterior? Raona la resposta. [3 punts]

Sí

No

Es considera el conjunt $S$ definit pel semicercle que apareix representat a la figura:

c. Proposa l'expressió analítica d'una funció $g(x, y)$ que tingui exactament per domini de definició el conjunt $S$. (6 punts)

Es considera la funció quadràtica $q(x, y) = 2x^2 - 6xy + 4y^2$.

a)

És possible trobar parelles de punts $(a, b)$ i $(c, d)$ tals que $q(a, b) > 0$ i $q(c, d) < 0$? Si és així, posa un exemple explícit de cadascun.

[5 punts]

Sí

No

b)

Sota la restricció lineal $3x + ky = 0$, determina els valors del paràmetre real $k$ que fan que $q(x, y)$ prengui sempre valors no positius (és a dir, menors o iguals a zero) sobre dita restricció.

[5 punts]

Es considera la funció quadràtica $q(x, y) = 2x^2 - 6xy + 4y^2$.

c. La gràfica següent mostra una porció de la corba de nivell -2 de la funció $q(x, y)$. Troba les equacions de les rectes tangents a aquesta corba en els dos punts assenyalats sobre la recta $x = 3$.

[5 punts]

1.

2.

Pregunta 4 (15 punts). Optimització amb restricció i valor marginal

Es considera la funció $f(x, y) = x^{3/2}y$ definida al conjunt $(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0, y \ge 0$.

a)

Troba el valor màxim de $f$ subjecte a la restricció $x + y = 15$ mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange. [6 punts]

$x =$

&emsp;$y =$

b)

Troba el valor màxim de $f$ subjecte a la restricció $x + y = c$, amb $c \in \mathbb{R}$, fent servir el mètode de substitució. Comprova que el resultat coincideix amb el de l'apartat anterior quan s'avalua a $c = 15$. [6 punts]

c)

Si la restricció de l'apartat anterior es modifica a $x + y = 15 + \Delta c$ i el nou valor màxim passa a ser aproximadament $153{,}9$, quin és el valor aproximat de la variació $\Delta c$? [3 punts]

Una empresa comercialitza dos béns en règim de competència perfecta a preus unitaris de 40 euros i 60 euros, respectivament. La funció de costos totals ve donada per $C(x, y) = 2x^2 + 4y^2 + 4xy + 10$, on $x$ i $y$ indiquen el nombre d'unitats produïdes de cada bé.

Determina els nivells de producció que maximitzen el benefici total de l'empresa tenint present que la capacitat productiva no permet fabricar més de 8 unitats en conjunt ($x + y \le 8$). Quin és el benefici màxim assolit?

a)

b)

c)

Es considera la funció de dues variables definida per $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

a. És homogènia la funció $f$? En cas afirmatiu, quin n'és el grau d'homogeneïtat? Justifica la resposta. [3 punts]

Sí

No

Grau:

Es considera la funció de dues variables definida per $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

b. Determina l'equació del pla tangent a la gràfica de $f$ en un punt de la forma $(a, a)$ amb $a \ne 0$. [3 punts]

$z =$

Es considera la funció de dues variables definida per $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

c.

Calcula el vector gradient de $f$ en un punt qualsevol $(a, b)$ del seu domini. [3 punts]

,

$)$

d.

Troba tots els punts $(a, b)$ del domini de $f$ pels quals la derivada direccional en la direcció del vector $(1, -1)$ és exactament $\sqrt{2}$. [6 punts]

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$

Pregunta 7 (15 punts). Problema de programació lineal primal-dual i folgança complementària

Es considera el següent problema de programació lineal (problema primal):

$$\text{Maximitzar } Z = 4x + 3y + 13z$$

subjecte a:

$$\begin{cases} x + 2z \le 1 \\ y + z \le 1 \\ x, y, z \ge 0 \end{cases}$$

a)

Planteja i resol gràficament el problema dual associat. Explica detalladament el procediment seguit per trobar la solució òptima. [7 punts]

$u^* =$

$v^* =$

b)

A partir de la solució del dual, indica el valor màxim de la funció objectiu $Z$ del primal. Quin seria el valor òptim aproximat de la solució si les restriccions del primal canviessin a $x + 2z \le 1.2$ i $y + z \le 0.9$? [3 punts]

c)

Emprant les condicions de folgança complementària i la solució del dual, troba el punt solució $(x^*, y^*, z^*)$ del problema primal. [5 punts]

$x^* =$

$y^* =$

$z^* =$