Pregunta 4 · Matematiques Iii UPF 2013

Pregunta 4 (15 punts). Optimització amb restricció i valor marginal

Es considera la funció $f(x, y) = x^{3/2}y$ definida al conjunt $(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0, y \ge 0$.

a)

Troba el valor màxim de $f$ subjecte a la restricció $x + y = 15$ mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange. [6 punts]

$x =$

 $y =$

b)

Troba el valor màxim de $f$ subjecte a la restricció $x + y = c$, amb $c \in \mathbb{R}$, fent servir el mètode de substitució. Comprova que el resultat coincideix amb el de l'apartat anterior quan s'avalua a $c = 15$. [6 punts]

c)

Si la restricció de l'apartat anterior es modifica a $x + y = 15 + \Delta c$ i el nou valor màxim passa a ser aproximadament $153{,}9$, quin és el valor aproximat de la variació $\Delta c$? [3 punts]