Examen de Matemàtiques Ii UPF 2018 · final de (curs 2018-19)

Pregunta 1 (8 punts). Domini i representació gràfica

Trobeu el domini de la següent funció de dues variables i representeu-lo gràficament en el pla $xy$, detallant i justificant tots els passos:

$$f(x, y) = \sqrt{y - \frac{1}{x}} - \frac{1}{\ln\left((x - 4)^2 + (y - 4)^2 - 1\right)}$$

a)

b)

c)

d)

Pregunta 2 (8 punts). Pla tangent a una superfície

Es considera la funció $$f(x, y) = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2 + k,$$ on $k \in \mathbb{R}$ és un paràmetre. Determineu si hi ha algun valor de $k$ pel qual el pla d'equació $x + z = 6$ sigui tangent a la superfície $z = f(x, y)$ en algun punt $(x, y)$ amb $x > 0.5$. Indiqueu els punts de tangència corresponents.

a)

b)

$x =$ $y =$

c)

$z =$

Pregunta 3 (8 punts). Derivada direccional màxima

Sigui la funció $f(x, y) = e^{x + \ln(y)}$. Es defineix la funció $g(h, k)$ com la funció que a cada vector unitari $(h, k) \in \mathbb{R}^2$ ($\|(h, k)\| = 1$) li associa la derivada direccional de $f$ en el punt $(0,1)$ segons la direcció donada per $(h, k)$. Calculeu el valor màxim que pot assolir $g$.

Pregunta 4 (8 punts). Forma quadràtica de la funció de producció

La direcció d'una empresa vol analitzar la viabilitat que la producció respongui al model $$P(L, K) = L^2 + K^2 - 6LK,$$ on $L$ indica la quantitat de treballadors i $K$ el nombre de màquines.

a.

Demostreu que la funció $P$ pot assolir tant valors estrictament positius com valors negatius estudiant el determinant de la matriu associada:

$\det(A) =$

b.

Per motius organitzatius dels torns de treball, se sap que calen exactament 6 treballadors per cada màquina disponible ($L = 6K$). Demostreu mitjançant l'ús de determinants que, sota aquesta condició, es compleix sempre $P(L, K) \ge 0$ i que, per tant, en aquest escenari sí té sentit econòmic com a funció de producció.

$\det(B) =$

Pregunta 5 (8 punts). Punts estacionaris i matriu hessiana

Se sap que la funció

$$f(x, y) = x^4 + y^4 - kx^4y^4$$

presenta un punt crític o estacionari a $(1,1)$. Calculeu el valor del paràmetre $k$ i classifiqueu el punt $(1,1)$ (únicament aquest) com a extrem local o punt de sella.

Pregunta 6 (15 punts). Rectes i plans a l'espai tridimensional

Es consideren les rectes següents a $\mathbb{R}^3$:

La recta $r$ que conté l'origen de coordenades $(0,0,0)$ i passa pel punt $(1,0,-1)$.

La recta $s$, donada per les equacions:

$$\begin{cases} x = 1 + z \\ y = -z \end{cases}$$

a.

Demostreu que els vectors directors d'ambdues rectes són ortogonals entre si.

b.

Trobeu l'equació general del pla $\pi_1$ que conté la recta $r$ i el punt $(0,1,-2)$.

c.

Demostreu que el pla $\pi_2$ d'equació $x + 2y + z = 1$ conté la recta $s$.

d.

Són paral·lels els plans $\pi_1$ i $\pi_2$? Són perpendiculars? Justifiqueu si la vostra deducció entra en contradicció amb el resultat de l'apartat (a).

Considereu la funció$$f(x, y) = \frac{2x^a y^2 + y^b}{x^2 y^2 + x^a y^b}$$Sabent que és una funció homogènia:

a.

Trobeu els valors dels paràmetres $a$ i $b$:

b.

c.

Amb els valors de $a$, $b$ i $k$ obtinguts, es defineix la funció $g(x, y) = \sqrt{f(x, y)}$. Fent servir el teorema d'Euler sobre $g$, i sense calcular explícitament les derivades parcials de $f$:

Sí

No

Pregunta 8 (15 punts). Optimització condicionada i mètode de Lagrange

La producció d'una empresa (mesurada en milers d'unitats) ve descrita per la funció $f(x, y) = 3x^{1/3}y^{1/3}$, on $x > 0$ representa el capital i $y > 0$ el treball. La demanda mínima que cal cobrir és de $3000$ unitats ($3$ milers), i les restriccions de pressupost imposen que $x + y \le 6$.

a.

Representeu en el pla $xy$ la regió determinada per aquestes restriccions i raoneu si és un conjunt compacte i/o convex.

És un conjunt compacte?

És un conjunt convex?

b.

Calculeu els nivells de capital i treball que permeten atendre la demanda i maximitzar la producció respectant el límit de pressupost, emprant quan calgui el mètode dels multiplicadors de Lagrange. Determineu el valor de la producció màxima $f^*$.

c.

Gràcies a l'aportació d'un nou inversor, el pressupost s'amplia i la restricció esdevé $x + y \le 6.2$. Utilitzeu els resultats dels apartats previs per estimar aproximadament l'increment de la producció màxima causat per aquesta injecció de capital.

Pregunta 9 (15 punts). Programació lineal i dualitat

Una empresa constructora es presenta a un concurs d'obra pública per piconar i asfaltar un tram de carretera. Amb la maquinària i el terreny actuals, la capacitat d'execució diària és de $D(x, y) = 50x + 25y$ metres de carretera al dia, on $x$ i $y$ indiquen, respectivament, el nombre de piconadores i d'asfaltadores emprades. L'empresa compta amb un equip de 300 operaris, 60 màquines piconadores i 25 màquines asfaltadores. Cada piconadora necessita 2 operaris per funcionar i cada asfaltadora en requereix 10.

a)

Formuleu i resoleu el problema d'optimització que permet trobar la màxima capacitat diària d'execució. Indiqueu quines restriccions resulten actives a l'òptim i com influeix això en el valor de les variables duals.

b)

Plantegeu el problema dual corresponent i calculeu els valors de les variables duals en el punt òptim.

c)

La direcció estudia aconseguir fons addicionals per ampliar els recursos, plantejant-se disposar de 350 operaris en total i adquirir 3 màquines asfaltadores addicionals. Calculeu quants metres diaris de carretera podria executar la constructora amb aquesta nova dotació.