Pregunta 4 · Matemàtiques Ii UPF 2018

Pregunta 4 (8 punts). Forma quadràtica de la funció de producció

La direcció d'una empresa vol analitzar la viabilitat que la producció respongui al model $$P(L, K) = L^2 + K^2 - 6LK,$$ on $L$ indica la quantitat de treballadors i $K$ el nombre de màquines.

a.

Demostreu que la funció $P$ pot assolir tant valors estrictament positius com valors negatius estudiant el determinant de la matriu associada:

$\det(A) =$

b.

Per motius organitzatius dels torns de treball, se sap que calen exactament 6 treballadors per cada màquina disponible ($L = 6K$). Demostreu mitjançant l'ús de determinants que, sota aquesta condició, es compleix sempre $P(L, K) \ge 0$ i que, per tant, en aquest escenari sí té sentit econòmic com a funció de producció.

$\det(B) =$