Pregunta 8 · Matemàtiques Ii UPF 2018

Pregunta 8 (15 punts). Optimització condicionada i mètode de Lagrange

La producció d'una empresa (mesurada en milers d'unitats) ve descrita per la funció $f(x, y) = 3x^{1/3}y^{1/3}$, on $x > 0$ representa el capital i $y > 0$ el treball. La demanda mínima que cal cobrir és de $3000$ unitats ($3$ milers), i les restriccions de pressupost imposen que $x + y \le 6$.

a.

Representeu en el pla $xy$ la regió determinada per aquestes restriccions i raoneu si és un conjunt compacte i/o convex.

És un conjunt compacte?

És un conjunt convex?

b.

Calculeu els nivells de capital i treball que permeten atendre la demanda i maximitzar la producció respectant el límit de pressupost, emprant quan calgui el mètode dels multiplicadors de Lagrange. Determineu el valor de la producció màxima $f^*$.

c.

Gràcies a l'aportació d'un nou inversor, el pressupost s'amplia i la restricció esdevé $x + y \le 6.2$. Utilitzeu els resultats dels apartats previs per estimar aproximadament l'increment de la producció màxima causat per aquesta injecció de capital.