Examen de Matemàtiques I i II UAB 2013 · Recull d'Exàmens Parcials de Matemàtiques (2013-2015)

Parcial 2013 - Exercici I. Complexos

a.

Sigui el nombre complex $w = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$. Determineu l'expressió polar de $w$ i calculeu la component imaginària del nombre $w^{100}$.

b.

Trobeu totes les solucions complexes de l'equació $z^4 + 16 = 0$ i verifiqueu que $w$ n'és una.

c.

Efectueu la descomposició factorial sobre el cos dels complexos del polinomi $P(z) = z^5 - 2z^4 + 16z - 32$ i comproveu que $w$ és una de les seves arrels.

Parcial 2013 - Exercici II. Sistema lineal amb paràmetres

Efectueu la discussió i resolució del següent sistema d'equacions lineals en funció dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$\begin{cases}

ax_1 + x_2 + x_3 = b \\

x_1 + ax_2 + x_3 = 1 \\

x_1 + x_2 + ax_3 = 1

\end{cases}$

1.

Quins són els valors crítics del paràmetre $a$ que fan $\det(A) = 0$?

2.

Discussió i resolució detallada dels casos segons els paràmetres $a$ i $b$:

Parcial 2013 - Exercici III. Espais vectorials

a.

Calculeu el determinant i, si escau, la matriu inversa de:

$A = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\

1 & 0 & 2 & 0 & 3

\end{pmatrix}$

Sí

No

Parcial 2013 - Exercici III. Espais vectorials

b)

Donats els vectors $v_1 = (\alpha, 1, \alpha)$, $v_2 = (1, \alpha, 1)$ i $v_3 = (\alpha^2, 0, 1)$ de $\mathbb{R}^3$, determineu per a quins valors de $\alpha$ formen un conjunt linealment independent.

c)

Per a cada valor de $\alpha$, trobeu quins valors ha de prendre $\beta$ per tal que el vector $u = (2, -1, \beta)$ es pugui expressar com a combinació lineal de $v_1, v_2, v_3$.

Sigui el subconjunt $S = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4: x - y + z - t = 0,\; x - y = 0\}$.

a)

Demostreu que $S$ és un subespai vectorial de $\mathbb{R}^4$.

b)

Determineu una base i la dimensió de $S$.

c)

Comproveu si el vector $(1, 1, 1, 3)$ pertany a $S$ i, en cas afirmatiu, trobeu les seves coordenades respecte de la base obtinguda a l'apartat anterior.

d)

Amplieu la base de $S$ fins a obtenir una base de tot l'espai $\mathbb{R}^4$.

a)

Donat el complex $z = -1 + i$, escriviu la seva forma polar i determineu la forma cartesiana de $z^{63}$.

b)

Calculeu les arrels quadrades del nombre complex $-2i$. A continuació, trobeu totes les arrels complexes del polinomi $x^4 + (1 + i)x^2 + i$ i factoritzeu-lo sobre $\mathbb{C}$.

c)

Factoritzeu el polinomi $x^6 + 1$ sobre el cos dels nombres reals $\mathbb{R}$.

Considereu les aplicacions entre espais vectorials reals següents:

a)

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida per $f(x, y, z) = (2x + y, x - z, x + y + z)$. Raoneu detalladament per què es tracta d'una aplicació lineal.

b)

Trobeu la matriu de l'aplicació $f$ respecte de les bases $B_1 = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\}$ a l'espai de sortida i $B_2 = \{(1, 1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, 1)\}$ a l'espai d'arribada.

c)

Sigui $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ l'aplicació lineal donada per $g(x, y, z) = (-5x + 4y + 2z, 3x - y - z)$. Calculeu la dimensió del nucli ($\ker g$) i de la imatge ($\operatorname{Im} g$), i doneu una base per a cadascun d'aquests subespais.

Parcial 2015 - Exercici 1. Potencial de Morse i primitiva

El potencial de Morse s'empra habitualment per descriure la interacció entre dos àtoms en una molècula diatòmica, definit per $f(x) = D_0 \left(1 - e^{-a(x-x_0)}\right)^2$, on $x$ és la distància interatòmica i $D_0, a, x_0$ són paràmetres positius. Considerem els valors concrets $D_0 = 2$, $a = 1$ i $x_0 = 1$, és a dir, la funció:

$$g(x) = 2 \left(1 - e^{-(x-1)}\right)^2, \quad x \ge 0$$

a.

Determineu la derivada $g'(x)$.

b.

Trobeu el punt $x$ on s'assoleix el mínim de la funció $g$ i calculeu quin és aquest valor mínim.

c.

Calculeu el límit $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

Parcial 2015 - Exercici 1. Potencial de Morse i primitiva

El potencial de Morse s'empra habitualment per descriure la interacció entre dos àtoms en una molècula diatòmica, definit per $f(x) = D_0 \left(1 - e^{-a(x-x_0)}\right)^2$, on $x$ és la distància interatòmica i $D_0, a, x_0$ són paràmetres positius. Considerem els valors concrets $D_0 = 2$, $a = 1$ i $x_0 = 1$, és a dir, la funció:

$$g(x) = 2 \left(1 - e^{-(x-1)}\right)^2, \quad x \ge 0$$

b. Resoleu la primitiva següent:

$$\int \frac{x^2}{x^2 + x - 2} \, dx$$

Parcial 2015 - Exercici 2. Vectors i valors propis

a)

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix}$, trobeu els seus valors propis i determineu una base de $\mathbb{R}^3$ formada per vectors propis. A continuació, calculeu la potència $A^{20}$.

b)

Trobeu els valors propis de la matriu $B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ i caracteritzeu els vectors propis associats a cadascun. Digueu raonadament si existeix alguna base en la qual aquesta matriu diagonalitzi.

Sí

No

Parcial 2015 - Exercici 3. Equació diferencial lineal d'ordre 2

Trobeu la solució del problema de valor inicial següent:

$$y'' - 2y' + 5y = 25xe^{2x}, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1$$

Parcial 2015 - Exercici 4. Model de refredament d'un líquid

Es col·loca una ampolla d'aigua dins d'una nevera que es troba a una temperatura constant de $2^\circ\text{C}$. Se sap que al cap d'una hora la temperatura de l'ampolla és de $20^\circ\text{C}$, i que al cap de dues hores és de $14^\circ\text{C}$.

a)

A quina temperatura inicial es va introduir l'ampolla d'aigua a la nevera?

b)

Si a les 6 de la tarda l'ampolla es troba a $10^\circ\text{C}$, a quina hora exacta es va posar a la nevera?