Problema 6 · Matemàtiques I i II UAB 2013

Tema: Aplicacions lineals, diagonalització i ortogonalitat · Del examen Recull d'Exàmens Parcials de Matemàtiques (2013-2015) (2013)

Enunciado

Considereu les aplicacions entre espais vectorials reals següents:

a)

Sigui f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida per f(x,y,z)=(2x+y,x−z,x+y+z)f(x, y, z) = (2x + y, x - z, x + y + z). Raoneu detalladament per què es tracta d'una aplicació lineal.

b)

Trobeu la matriu de l'aplicació ff respecte de les bases B1={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}B_1 = \{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\} a l'espai de sortida i B2={(1,1,1),(−1,1,1),(−1,−1,1)}B_2 = \{(1, 1, 1), (-1, 1, 1), (-1, -1, 1)\} a l'espai d'arribada.

c)

Sigui g:R3→R2g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 l'aplicació lineal donada per g(x,y,z)=(−5x+4y+2z,3x−y−z)g(x, y, z) = (-5x + 4y + 2z, 3x - y - z). Calculeu la dimensió del nucli (ker⁡g\ker g) i de la imatge (Im⁡g\operatorname{Im} g), i doneu una base per a cadascun d'aquests subespais.

Enunciado: Problema 6 · Matemàtiques I i II UAB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Sigui f:R3→R3f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida per f(x,y,z)=(2x+y,x−z,x+y+z)f(x, y, z) = (2x + y, x - z, x + y + z). Raoneu detalladament per què es tracta d'una aplicació lineal.

Solución: Compleix f(λu+μv)=λf(u)+μf(v)f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v) perquè cada component és un polinomi homogeni de primer grau sense terme independent.

b. Trobeu la matriu de l'aplicació ff respecte de les bases B1B_1 a l'espai de sortida i B2B_2 a l'espai d'arribada.

Solución: (5/223/2−1−1−11/213/2)\begin{pmatrix} 5/2 & 2 & 3/2 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1/2 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}

c. Calculeu la dimensió de la imatge (Im⁡g\operatorname{Im} g).

Solución: 2

c. Calculeu la dimensió del nucli (ker⁡g\ker g).

Solución: 1

c. Doneu una base per al nucli ker⁡g\ker g.

Solución: {(−2,1,−7)}\{(-2, 1, -7)\}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 2 · 2019 · Problema 8 · 2013 ›

Más ejercicios de Aplicacions lineals, diagonalització i ortogonalitat