Examen de Matemàtiques I i II UAB 2013 · Matemàtiques (Curs 2013-2014)

Exercici 2. Integració múltiple

a.

Calculeu la següent integral doble canviant prèviament l'ordre d'integració:

$$\int_0^\pi \int_x^\pi \frac{\sin y}{y} \, dy \, dx$$

b.

Considereu la regió sòlida delimitada per la superfície cònica $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (o parabòlica) i el pla $z = 1$.

Plantegeu i avalueu la integral en coordenades cilíndriques del camp escalar corresponent sobre el volum delimitat:

$$\iiint_V (x^2 + y^2) \, dV$$

Exercici 3. Camps vectorials, circulació i flux

Donat el camp vectorial $\vec{F}(x, y, z) = (z - 2xy,\, x^2 + y^2 + z^2,\, z^3)$, la superfície parametritzada $\varphi(s, t) = (s,\, t,\, 1 - (s^2 + t^2))$ amb domini $s^2 + t^2 \le 1$, i la corba vora $C(r) = (\cos r,\, \sin r,\, 0)$ amb $r \in [0, 2\pi]$:

a.

Calculeu la circulació del camp al llarg de la corba $C$, és a dir, la integral de línia $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$.

b.

Trobeu el rotacional del camp $\vec{F}$.

c.

Calculeu directament (sense utilitzar el teorema de la divergència) el flux del rotacional a través de la superfície $\varphi(s, t)$:

$$\iint_S \vec{G} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{G}(\varphi(s,t)) \cdot \vec{N}(s,t)\, ds\, dt$$

on $\vec{G} = \mathrm{rot}(\vec{F})$.

d.

Formuleu la resolució mitjançant el Teorema de la divergència per a justificar el resultat obtingut.