Problema 4 · Matemàtiques I i II UAB 2013

Tema: Espais vectorials: subespais, bases i dimensió · Del examen Recull d'Exàmens Parcials de Matemàtiques (2013-2015) (2013)

Enunciado

Sigui el subconjunt S={(x,y,z,t)∈R4:x−y+z−t=0,  x−y=0}S = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4: x - y + z - t = 0,\; x - y = 0\}.

a)

Demostreu que SS és un subespai vectorial de R4\mathbb{R}^4.

b)

Determineu una base i la dimensió de SS.

c)

Comproveu si el vector (1,1,1,3)(1, 1, 1, 3) pertany a SS i, en cas afirmatiu, trobeu les seves coordenades respecte de la base obtinguda a l'apartat anterior.

d)

Amplieu la base de SS fins a obtenir una base de tot l'espai R4\mathbb{R}^4.

Enunciado: Problema 4 · Matemàtiques I i II UAB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu que SS és un subespai vectorial de R4\mathbb{R}^4.

Solución: És el conjunt de solucions d'un sistema d'equacions lineals homogeni (o compleix que el vector nul hi pertany i és tancat per combinacions lineals).

b. Determineu la dimensió de SS.

Solución: 2

b. Determineu una base de SS.

Solución: {(1,1,0,0),(0,0,1,1)}\{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)\}

c. Comproveu si el vector (1,1,1,3)(1, 1, 1, 3) pertany a SS i, en cas afirmatiu, trobeu les seves coordenades respecte de la base obtinguda a l'apartat anterior.

Solución: No

d. Amplieu la base de SS fins a obtenir una base de tot l'espai R4\mathbb{R}^4.

Solución: {(1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,0,0,1)}\{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)\}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio 3.b-c - Espais vectorials · 2013

Más ejercicios de Espais vectorials: subespais, bases i dimensió