Problema 5 · Matemàtiques I i II UAB 2013

a. Donat el complex $z = -1 + i$, determineu el seu mòdul.

Solución: $\sqrt{2}$

a. Donat el complex $z = -1 + i$, determineu el seu argument.

Solución: $\frac{3\pi}{4}$

a. Determineu la forma cartesiana de $z^{63}$.

Solución: $-2^{31} - 2^{31}i$

b. Calculeu les arrels quadrades del nombre complex $-2i$.

Solución: $1 - i$ i $-1 + i$

b. Trobeu totes les arrels complexes del polinomi $x^4 + (1 + i)x^2 + i$ i factoritzeu-lo sobre $\mathbb{C}$.

Solución: $(x - i)(x + i)\left(x - \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{2}\right)\left(x + \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{2}\right)$

c. Factoritzeu el polinomi $x^6 + 1$ sobre el cos dels nombres reals $\mathbb{R}$.

Solución: $(x^2 + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$